Giải bài 6.56 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Vẽ đồ thị của hai hàm số \(y = {e^x}\) và \(y = {\rm{ln}}x\) trên cùng một hệ trục toạ độ.

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

 a) Vẽ đồ thị của hai hàm số \(y = {e^x}\) và \(y = {\rm{ln}}x\) trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\) tức điểm \(M\) nằm trên một đồ thị thì \(M'\) đối xứng với \(M\) qua đường thẳng \(y = x\) sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để vẽ đồ thị ta làm như sau:

Lập bảng giá trị

Xác định các điểm trên mặt phẳng tọa độ rồi nối các điểm đó lại

b) Xét điểm \(A\left( {{x_0},{e^{{x_0}}}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).

Viết phương trình đường thằng d đi qua \(A\) vuông góc với đường thẳng \(y = x\):

Toạ độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{d}}\) và đường thẳng \(y = x\) là điểm \(B\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thằng \(y = x\). Ta tìm được tọa độ \(A'\). Khi đó chứng minh\(A'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\).

Tương tự nếu điểm \(B\left( {{x_0}{\rm{;ln}}{x_0}} \right)\) nằm trền đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\) thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điềm \(B'\) đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(y = x\) và chứng minh \(B'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\theta ^x}\).

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x\).

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị của hai hàm số \(y = {e^x}\) và \(y = {\rm{ln}}x\) trên cùng một hệ trục toạ độ như hình sau:

 

b) Xét điểm \(A\left( {{x_0},{e^{{x_0}}}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).

Viết phương trình đường thằng đi qua \(A\) vuông góc với đường thẳng \(y = x\):

  

Toạ độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{d}}\) và đường thẳng \(y = x\) là \(B\left( {\frac{{{x_0} + {e^{{x_0}}}}}{2};\frac{{{x_0} + {e^{{x_0}}}}}{2}} \right)\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thằng \(y = x\). Ta tìm được \(A'\left( {{e^{{x_0}}};{x_0}} \right)\). Khi đó \(A'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\). Tương tự nếu điếm \(B\left( {{x_0}{\rm{;ln}}{x_0}} \right)\) nằm trền đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\) thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điềm \(B'\) đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(y = x\) và chứng minh \(B'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x\).

Chú ý: Tổng quát, có thề chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x(0 < a \ne 1)\) đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phẩn tư thứ nhất (tức là đường thẳng \(y = x\) ).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.