Giải bài 111 trang 45 sách bài tập toán 12 - Cánh diều>
Một cửa sổ gồm phần dưới là một hình chữ nhật và phần vòm có hình bán nguyệt được mô tả ở Hình 34. Tìm \(x,y\) để diện tích của cửa sổ lớn nhất, biết chu vi của cửa sổ là 5 m.
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
Đề bài
Một cửa sổ gồm phần dưới là một hình chữ nhật và phần vòm có hình bán nguyệt được mô tả ở Hình 34. Tìm \(x,y\) để diện tích của cửa sổ lớn nhất, biết chu vi của cửa sổ là 5 m.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm công thức xác định hàm số mô phỏng diện tích của cửa sổ.
‒ Dựa vào công thức của hàm số để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Lời giải chi tiết
Chu vi của cửa sổ là: \(x + 2y + \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} = x + 2y + \frac{{\pi x}}{2} = 5 \Leftrightarrow y = \frac{{10 - \left( {2 + \pi } \right)x}}{4}\).
Vì chu vi của cửa sổ bằng 5 nên \(\frac{{10 - \left( {2 + \pi } \right)x}}{4} < 5 \Leftrightarrow \).
Diện tích của cửa sổ là: \(S = xy + \frac{1}{2}.\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x.\frac{{10 - \left( {2 + \pi } \right)x}}{4} + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = \frac{{ - \left( {\pi + 4} \right){x^2} + 20{\rm{x}}}}{8}\)
Xét hàm số \(S\left( x \right) = \frac{{ - \left( {\pi + 4} \right){x^2} + 20{\rm{x}}}}{8}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(S'\left( x \right) = - \frac{{\pi + 4}}{4}x + \frac{5}{2}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(S'\left( x \right) = 0\) khi \(x = \frac{{10}}{{\pi + 4}}\).
Bảng biến thiên:
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = 1,75\) tại \(x = \frac{{10}}{{\pi + 4}} \Leftrightarrow y = \frac{5}{{\pi + 4}}\).
Vậy khi \(x = \frac{{10}}{{\pi + 4}} \approx 1,4\left( m \right),y = \frac{5}{{\pi + 4}} \approx 0,7\left( m \right)\) thì diện tích của cửa sổ lớn nhất.


- Giải bài 110 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 109 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 108 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 106 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
>> Xem thêm