Giải bài 108 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) (y = {x^3} - 6{{rm{x}}^2} + 9x - 2); b) (y = - {x^3} - x); c) (y = frac{{2{rm{x}} - 4}}{{{rm{x}} + 1}}); d) (y = frac{{ - x + 3}}{{{rm{x}} - 2}}); e) (y = frac{{{x^2} - x + 2}}{{{rm{x}} + 1}}); g) (y = frac{{ - {x^2} + 4}}{{2{rm{x}}}}).

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 9x - 2\)   

b) \(y =  - {x^3} - x\)   

c) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 4}}{{{\rm{x}} + 1}}\)

d) \(y = \frac{{ - x + 3}}{{{\rm{x}} - 2}}\) 

e) \(y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{\rm{x}} + 1}}\) 

g) \(y = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{2{\rm{x}}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sơ đồ khảo sát hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. 

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số 

• Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). 

• Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. 

Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số 

• Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

• Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản),… 

• Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

Lời giải chi tiết

a) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \).

• Bảng biến thiên:

\(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 9\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \({\rm{x}} = 3\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\); đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3,{y_{CT}} =  - 2\); hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CĐ}} =  2\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 2} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( {0; - 2} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;0} \right),\left( {3; - 2} \right),\left( {4;2} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 9x - 2\) như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {2;0} \right)\).

b) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

• Bảng biến thiên:

\(y' =  - 3{{\rm{x}}^2} - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(O\left( {0;0} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 2;10} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1; - 2} \right),\left( {2; - 10} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} - x\) như hình vẽ bên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(O\left( {0;0} \right)\).

c) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = \frac{6}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 4} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 7;3} \right),\left( { - 3;5} \right),\left( { - 2;8} \right),\left( {0; - 4} \right),\left( {2;0} \right),\left( {5;1} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 4}}{{{\rm{x}} + 1}}\) như sau:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

d) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 1\).

Do đó, đường thẳng \(y =  - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( {0; - \frac{3}{2}} \right),\left( {1; - 2} \right),\left( {3;0} \right),\left( {4; - \frac{1}{2}} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 3}}{{{\rm{x}} - 2}}\) như sau:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

e) \(y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{\rm{x}} + 1}} \Leftrightarrow y = x - 2 + \frac{4}{{{\rm{x}} + 1}}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y = x - 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - {\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - {\rm{x}} + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ &  = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \({\rm{x}} =  - 3\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\); đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} = 1\); đạt cực đại tại \(x = -3,{y_{CĐ}} =  - 7\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;2} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 5; - 8} \right),\left( { - 3; - 7} \right),\left( { - 2; - 8} \right),\left( {0;2} \right),\left( {1;1} \right),\left( {3;2} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{\rm{x}} + 1}}\) như sau:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1; - 3} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

g) \(y = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{2{\rm{x}}}} \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{2}x + \frac{2}{x}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( { - \frac{1}{2}x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( { - \frac{1}{2}x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{x} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y =  - \frac{1}{2}x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' =  - \frac{1}{2} - \frac{2}{{{x^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 5; - 4} \right),\left( { - 3;0} \right),\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0; - \frac{3}{2}} \right),\left( {1;0} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{2{\rm{x}}}}\) như sau:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(O\left( {0;0} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 109 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh lần lượt là 0,9 m và 1,5 m như Hình 32. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Gọi \(V\) là thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành, \(V\) được tính theo \(x\) bởi công thức nào? Tìm \(x\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

  • Giải bài 110 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách. Sau khi để lề trái, lề phải, lề trên và lề dưới theo số liệu được cho ở Hình 33 thì diện tích phần in chữ trên trang sách là 24 inch2. Tính kích thước của trang sách để diện tích giấy cần sử dụng là ít nhất?

  • Giải bài 111 trang 45 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Một cửa sổ gồm phần dưới là một hình chữ nhật và phần vòm có hình bán nguyệt được mô tả ở Hình 34. Tìm \(x,y\) để diện tích của cửa sổ lớn nhất, biết chu vi của cửa sổ là 5 m.

  • Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số: a) \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} - 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\); b) \(y = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\); c) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\); d) \(y = \ln \sqrt {{x^2} + 1} \) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\); e) \(y = x + \cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\).

  • Giải bài 106 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{ - 3{rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 1}}{{2{rm{x}} + 1}}); c) (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí