Giải bài 72 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tính góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( P right)) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết (Delta :left{ begin{array}{l}x = - 1 - 5t\y = 4 - 4t\z = - 1 + 3tend{array} right.) (với (t) là tham số) và (left( P right):3{rm{x}} + 4y + 5{rm{z}} + 60 = 0).

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 5t\\y = 4 - 4t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \(\left( P \right):3{\rm{x}} + 4y + 5{\rm{z}} + 60 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 5; - 4;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;4;5} \right)\).

Sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:

\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 5.3 - 4.4 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = \frac{8}{{25}}\).

Vậy \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {19^ \circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 73 trang 71 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tính góc giữa hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right)) và (left( {{P_2}} right)) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết (left( {{P_1}} right):5x + 12y - 13z - 14 = 0) và (left( {{P_2}} right):13x - 5y - 12z + 7 = 0).
Giải bài 74 trang 71 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hai đường thẳng ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = 1 + 4{t_1}\y = 9 + {t_1}\z = 1 - 6{t_1}end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 4 + 3{t_2}\y = 1 - 18{t_2}\z = - 5 - {t_2}end{array} right.) (({t_1},{t_2}) là tham số). Chứng minh rằng ({Delta _1} bot {Delta _2}).
Giải bài 75 trang 71 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục toạ độ (Oxyz) với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có toạ độ (left( {2;3;1} right)), cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính 10 m. a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn. b) Tại một vị trí có toạ độ (left( {5;0;2} right)) có nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm trên hay không?
Giải bài 71 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tính góc giữa hai đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = 8 + sqrt 2 {t_1}\y = 9 - {t_1}\z = 10 + {t_1}end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 7 + {t_2}\y = - 9 + sqrt 2 {t_2}\z = 11 - {t_2}end{array} right.) (({t_1},{t_2}) là tham số).
Giải bài 70 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau: a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y - 1}}{{27}} = \frac{{z - 3}}{{ - 27}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 7}}{3}\); b) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{7} = \frac{{y + 9}}{5} = \frac{{z + 15}}{8}\); c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 6
Giải bài 69 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Lập phương trình của mặt cầu (left( S right)) trong mỗi trường hợp sau: a) (left( S right)) có tâm (Ileft( { - 2;3;8} right)) bán kính (R = 100); b) (left( S right)) có tâm (Ileft( {3; - 4;0} right)) và đi qua điểm (Mleft( {2; - 3;1} right)); c) (left( S right)) có đường kính là (AB) với (Aleft( { - 1;0;4} right)) và (Bleft( {1;0;2} right)).
Giải bài 68 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {6; - 7;10} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\); b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(N\left( { - 3;8; - 4} \right)\) và có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2; - 1} \right),\overrightarrow v = \left( {1;4; - 5} \right)\); c) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {1;
Giải bài 67 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho bốn điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 2} \right)\). a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\). b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \(AB\) và \(AC\). c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). d) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\
Giải bài 66 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hai điểm (Aleft( {0;2;0} right)) và (Bleft( {2; - 4;0} right)). a) Trung điểm (I) của đoạn thẳng (AB) có toạ độ là (left( {1; - 1;0} right)). b) (AB = 40). c) Mặt cầu (left( S right)) tâm (A) và đi qua (B) có bán kính (R = sqrt {10} ). d) Phương trình mặt cầu (left( S right)) tâm (A) và đi qua (B) là: ({left( {x - 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {z^2} = 10).
Giải bài 65 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right):x + 4y - 2z + 2 = 0,left( {{P_2}} right): - 2x + y + z + 3 = 0). a) Vectơ (overrightarrow {{n_1}} = left( {1;4; - 2} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_1}} right)). b) Vectơ (overrightarrow {{n_2}} = left( {2;1;1} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_2}} right)). c) (overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}}
Giải bài 64 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho điểm (Ileft( {1;2;3} right)) và đường thẳng (Delta :frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{{ - 1}}). Gọi (left( P right)) là mặt phẳng đi qua (I) và vuông góc với đường thẳng (Delta ). a) Nếu (overrightarrow u ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (Delta ) thì (overrightarrow u ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right)). b) Vectơ có toạ độ (left( {2;1; - 1} right))
Giải bài 63 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho (a + b + c ne 0). Khoảng cách từ gốc toạ độ (O) đến mặt phẳng (x + a + b + c = 0) bằng: A. (left| {a + b + c} right|). B. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}). C. (frac{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{{left| {a + b + c} right|}}). D. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).
Giải bài 62 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Toạ độ tâm của mặt cầu (left( S right):{left( {x + 19} right)^2} + {left( {y - 20} right)^2} + {left( {z + 21} right)^2} = 22) là: A. (left( { - 19;20; - 21} right)). B. (left( {19;20; - 21} right)). C. (left( { - 19;20;21} right)). D. (left( {19;20;21} right)).
Giải bài 61 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Mặt cầu (left( S right):{left( {x - 23} right)^2} + {left( {y - 8} right)^2} + {left( {z - 44} right)^2} = 81) có bán kính bằng: A. 23. B. 9. C. 8. D. 44.
Giải bài 60 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:frac{{x - 2}}{{15}} = frac{{y + 9}}{{ - 10}} = frac{{z - 7}}{5})? A. (overrightarrow {{u_1}} = left( {2; - 9;7} right)). B. (overrightarrow {{u_2}} = left( { - 2;9; - 7} right)). C. (overrightarrow {{u_3}} = left( {15;10;5} right)). D. (overrightarrow {{u_4}} = left( {3; - 2;1} right)).
Giải bài 59 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 8 - t\y = 7\z = - 6 + 9tend{array} right.)? A. (overrightarrow {{u_1}} = left( { - 1;0;9} right)). B. (overrightarrow {{u_2}} = left( {8;7;6} right)). C. (overrightarrow {{u_3}} = left( {1;0;9} right)). D. (overrightarrow {{u_4}} = left( {8;7; - 6} right)).
Giải bài 58 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 9 + 6t\y = - 10 - 7t\z = 11 + 8tend{array} right.)? A. (overrightarrow {{u_1}} = left( {9; - 10;11} right)). B. (overrightarrow {{u_2}} = left( {6;7;8} right)). C. (overrightarrow {{u_3}} = left( {9;10;11} right)). D. (overrightarrow {{u_4}} = left( {6; - 7;8} right)).
Giải bài 57 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( R right):z - 2 = 0)? A. (overrightarrow {{n_1}} = left( {1; - 2;0} right)). B. (overrightarrow {{n_2}} = left( {1;0; - 2} right)). C. (overrightarrow {{n_3}} = left( {0;0;1} right)). D. (overrightarrow {{n_4}} = left( {1;2;0} right)).
Giải bài 56 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( Q right):5x - 6z + 4 = 0)? A. (overrightarrow {{n_1}} = left( {5;0; - 6} right)). B. (overrightarrow {{n_2}} = left( {5; - 6;4} right)). C. (overrightarrow {{n_3}} = left( {5;0;6} right)). D. (overrightarrow {{n_4}} = left( {5;6;4} right)).
Giải bài 55 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right): - x + 2y - 9z + 7 = 0)? A. (overrightarrow {{n_1}} = left( {1;2;9} right)). B. (overrightarrow {{n_2}} = left( {1; - 2;9} right)). C. (overrightarrow {{n_3}} = left( {1;2; - 9} right)). D. (overrightarrow {{n_4}} = left( { - 1;2;9} right)).