Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 3, - 8} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4,0, - 4} \right). \cr 
& \overrightarrow {AD} = \left( {0, - 3,1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]= \left( {12, - 20,12} \right), \cr & \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \)

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\).
Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
1 + 25 + 9 - 2a - 10b - 6c + d = 0 \hfill \cr 
16 + 4 + 25 - 8a - 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 
1 + 4 + 16 - 2a - 4b - 8c + d = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \matrix{
3a - 3b - 8c = 5 \hfill \cr 
a - c = 2 \hfill \cr 
- 3b + c = - 7 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
b = 2 \hfill \cr 
c = - 1 \hfill \cr 
d = - 19 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z - 19 = 0.\)
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19}  = 5.\)
c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, - 20,12} \right) \) \(= 4\left( {3, - 5,3} \right).\)
Mp(ABC) đi qua \(A\left( {1,5,3} \right)\) nên có phương trình:

\(3\left( {x - 1} \right) - 5\left( {y - 5} \right) + 3\left( {z - 3} \right)=0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 5y + 3z + 13 = 0.\)

Khoảng cách từ D đến mp(ABC) là: \(h = {{\left| {3.1 - 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\).
d) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4, - 3,5} \right)\) nên có phương trình:
\( - 4x - 3y + 5z + d = 0.\)
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\) của mặt cầu(S) tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng 5, tức là:

\({{\left| { - 4.1 - 3.2 - 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \) \(\Leftrightarrow {{\left| { - 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\)

Vậy \(\left( \alpha  \right): - 4x - 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2  = 0.\)

e) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { - 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} - d_3^2}  = \sqrt {25 - 4}  = \sqrt {21} .\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
  • Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình a) Viết phương trình hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ. b) Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua đường thẳng . c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng và các trục tọa độ. d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng và e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả và ’.

  • Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1). a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).

  • Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có phương trình trong đó a, b, c thay đổi sao cho a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố định, góc giữa và Oz là không đổi. b) Tìm quỹ tích các giao điểm của và mp(Oxy).

  • Bài 12 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c. a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD). b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

  • Bài 7 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình trụ có bán kính R và đường cao . Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD. a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.