Giải mục 3 trang 10,11 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

KP7

Trả lời câu hỏi Khám phá 7 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Ta có \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\) và \(\left( {{x^3}} \right)' = 3{x^2}\).

a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \).

b) Tìm \(\int {3{x^2}dx} \).

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {3{x^2}dx}  = 3\int {{x^2}dx} \).

Phương pháp giải:

a, b) Sử dụng kiến thức nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) thì \(\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C\)

c) So sánh \(\int {3{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \) và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\) nên \(\int {{x^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} + C} \).

Suy ra \(3\int {{x^2}dx = 3\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + C} \right) = {x^3}}  + 3C\)

b) Do \(\left( {{x^3}} \right)' = 3{x^2}\) nên \(\int {3{x^2}dx}  = {x^3} + C\).

c) Ta thấy rằng \(\int {3{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \) đều cùng có dạng \({x^3} + C\), với \(C\) là một hằng số. Do đó \(\int {3{x^2}dx}  = 3\int {{x^2}dx} \).

TH5

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} \)

b) \(\int {{2^{2x + 1}}dx} \)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \) và \(\int {\cos xdx}  = \sin x + C\)

b) Sử dụng các công thức \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \) và \(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx}  =  - \frac{1}{4}\int {\cos xdx}  =  - \frac{1}{4}\sin x + C\)

b) \(\int {{2^{2x + 1}}dx}  = 2\int {{{\left( {{2^2}} \right)}^x}dx}  = 2\int {{4^x}dx = 2\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C} \)

KP8

Trả lời câu hỏi Khám phá 8 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Ta có \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\), \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\) và \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)' = {x^2} + 2x\).

a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \), \(\int {2xdx} \) và \(\int {{x^2}dx}  + \int {2xdx} \)

b) Tìm \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx = \int {{x^2}dx}  + \int {2xdx} } \).

Phương pháp giải:

a, b) Sử dụng kiến thức nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) thì \(\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C\)

c) So sánh \(\int {{x^2}dx}  + \int {2xdx} \) và \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \) và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\) nên \(\int {{x^2}dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)

Do \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\) nên \(\int {2xdx}  = {x^2} + {C_2}\)

Suy ra \(\int {{x^2}dx}  + \int {2xdx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + {C_1} + {C_2}\)

b) Do \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)' = {x^2} + 2x\) nên \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\)

c) Ta thấy rằng \(\int {{x^2}dx}  + \int {2xdx} \) và \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \) đều cùng có dạng \(\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\), với \(C\) là một hằng số. Do đó \(\int {{x^2}dx}  + \int {2xdx}  = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 11 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) \(\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)

b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số và nguyên hàm của tích một số với một hàm số để đưa về tính nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x > 0\), ta có:

\(\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx}  = 3\int {{x^3}dx}  + 2\int {\frac{1}{{{x^{\frac{3}{5}}}}}dx = 3\int {{x^3}dx}  + 2\int {{x^{\frac{{ - 3}}{5}}}} dx = \frac{{3{x^4}}}{4} + \frac{{2{x^{\frac{2}{5}}}}}{{\frac{2}{5}}} + C} \)

\( = \frac{{3{x^4}}}{4} + 5\sqrt[5]{{{x^2}}} + C\)

b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = 3\tan x - \left( { - \cot x} \right) + C} \)

\( = 3\tan x + \cot x + C\)

TH7

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 11 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một ô tô đang chạy với tốc độ \(19{\rm{ m/s}}\) thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ \(v\left( t \right) = 19 - 2t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường ô tô đi được kể từ khi hãm phanh cho đến thời điểm \(t\) giây.

Do \(s'\left( t \right) = v\left( t \right)\), nên \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \). Do mốc thời gian được tính kể từ khi hãm phanh, nên \(s\left( 0 \right) = 0\). Từ đó ta tìm được hàm \(s\left( t \right)\). Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây lần lượt là \(s\left( 1 \right)\), \(s\left( 2 \right)\), \(s\left( 3 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường ô tô đi được kể từ khi hãm phanh cho đến thời điểm \(t\) giây.

Do \(s'\left( t \right) = v\left( t \right)\), nên

 \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}  = \int {\left( {19 - 2t} \right)dt}  = 19\int {dt}  - \int {2tdt}  = 19t - {t^2} + C\).

Mặt khác, do mốc thời gian được tính kể từ khi hãm phanh, nên \(s\left( 0 \right) = 0\).

Suy ra \(19.0 - {0^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy quãng đường ô tô đi được kể từ khi hãm phanh cho đến thời điểm \(t\) giây là \(s\left( t \right) = 19t - {t^2}\).

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây hãm phanh là \(s\left( 1 \right) = 19.1 - {1^2} = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây hãm phanh là \(s\left( 2 \right) = 19.2 - {2^2} = 34{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây hãm phanh là \(s\left( 1 \right) = 19.3 - {3^2} = 48{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).