Giải bài tập 8 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Xét phản ứng hoá học tạo ra chất C từ hai chất A và B: $A{\rm{ }} + {\rm{ }}B{\rm{ }} \to {\rm{ }}C$ Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: $\left[ C \right]\; = \;\frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}$ (mol/l), trong đó K là hằng số dương. a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0. b) Chứng minh nếu $x\; = \;\left[ C \right]$ thì c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\; \to \

Đề bài

Xét phản ứng hoá học tạo ra chất C từ hai chất A và B:

$A{\rm{ }} + {\rm{ }}B{\rm{ }} \to {\rm{ }}C$

Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: $\left[ C \right]\; = \;\frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}$ (mol/l), trong đó K là hằng số dương.

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0.

b) Chứng minh nếu $x\; = \;\left[ C \right]$ thì

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi $t\; \to \; + \infty $

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi $t\; \to \; + \infty $

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Tốc độ phản ứng được xác định bằng đạo hàm của nồng độ chất C theo thời gian t. Vì vậy, ta cần tính đạo hàm của hàm số [C] $ = \frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}$ theo thời gian t.

Đặt $f\left( t \right)\; = {a^2}Kt$ và $g\left( t \right)\; = aKt + 1$. Khi đó, [C] $ = \frac{{f\left( t \right)}}{{g\left( t \right)}}.$

Ta có:

Đạo hàm của $f\left( t \right)$ theo t: $f\left( t \right)~={{a}^{2}}K$.

Đạo hàm của $g\left( t \right)$ theo t:$g\left( t \right)~=aK$

Ta có:

Vậy, tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0 là: (Mol/(l.s))

b) Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của $x\; = \;\left[ C \right]$ theo thời gian t, x’(t), bằng với

Ta đã tính được từ phần trước.

Giả sử . Thay $x{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\left[ C \right] = \frac{{{{\rm{a}}^2}{\rm{Kt}}}}{{{\rm{aKt}} + 1}}$ vào phương trình

ta có:

$x\left( t \right)=~K{{\left( \frac{a-\left( {{a}^{2}}Kt \right)}{aKt+1} \right)}^{2}}=~K{{\left( a\left( \frac{1-aKt}{aKt+1} \right) \right)}^{2}}=~K{{\left( a\left( \frac{1-t}{t+\frac{1}{a}} \right) \right)}^{2}}=~K{{\left( a\left( \frac{1}{t+\frac{1}{a}} \right) \right)}^{2}}=~K{{\left( \frac{a}{t+\frac{1}{a}} \right)}^{2}}=~K{{\left( \frac{a}{t+a} \right)}^{2}}=~K{{\left( \frac{a\left( 1~-~t \right)}{\left( {{t}^{2}}+~2t~+~1 \right)} \right)}^{2}}$

So sánh với ta thấy hai biểu thức này chỉ bằng nhau khi ${\rm{K\;}} = \frac{1}{{\rm{a}}}$

Vậy, nếu ${\rm{K\;}} = \frac{1}{{\rm{a}}}\;$thì

c) Đối với chất A và B, do chúng liên tục phản ứng để tạo ra chất C, nên nồng độ của chúng sẽ giảm dần và khi $t\; \to \; + \infty $, nồng độ của chúng sẽ tiến tới 0.

Đối với chất C, ta có $\left[ C \right] = \frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}$. Khi $t\; \to \; + \infty $, ta có: $\left[ C \right] = \frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a\; + \frac{1}{t}} \right)}}$ → a (mol/l) Vậy, khi $t\; \to \; + \infty $, nồng độ của chất C sẽ tiến tới a.

d) Tốc độ phản ứng được cho bởi công thức: .

Khi $t\; \to \; + \infty $, ta có: .$x\left( t \right)=~\frac{a\left( 1~-~t \right)}{\left( {{t}^{2}}+~2t~+~1 \right)}~\to 0$.

Vậy, khi thời gian t tiến tới vô cùng, tốc độ phản ứng sẽ giảm dần và tiến tới 0. Điều này cho thấy phản ứng đã hoàn toàn xảy ra, và không còn chất nào tiếp tục phản ứng nữa.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 7 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250km so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm độ cao hát của con tàu so với bề mặt của mặt trăng được tính gần đúng bởi hàm. (hleft( t right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250) Trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét a) Vẽ đồ thị của hàm số (y = hleft( t right)) với (0{rm{ }} le t le {rm{ }
Giải bài tập 6 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau: a, $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ b,$y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}$ c,$y=\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}$ d,$y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}$ e,$y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}$ g,$y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}$
Giải bài tập 5 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
khảo sát về sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: (a,;y = 2{x^3} - 3x + 1 b,;y = - {x^3} + 3x - 1) c, ( y = {left( {x - 2} right)^3} + 4) d,(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1) e, (y = frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 2x + 1) g,( y = - {x^3} - 3x)
Giải bài tập 4 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Đường cong ở hình 30 là đồ thị của hàm số:
Giải bài tập 3 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Đường cong nào sau đây là đò thị của hàm số (y = frac{{1 - x}}{{x + 1}}) ?
Giải bài tập 2 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
đường cong ở hình 29 là đồ thị của hàm số :
Giải bài tập 1 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x - 1$ là đường cong sau ?
Giải câu hỏi trang 28 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Sơ đồ khảo sát hàm số
Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cánh Diều
1. Sơ đồ khảo sát hàm số Các bước khảo sát hàm số