Giải bài tập 6 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ACD lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K) sao cho hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC. Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M, đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình 17). Chứng minh: a) Ba điểm I, H, K thẳng hàng. b) AM = AN. c) (widehat {IAK} = frac{1}{2}widehat {BAD}.)

Đề bài

Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ACD lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K) sao cho hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC. Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M, đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình 17). Chứng minh:

a) Ba điểm I, H, K thẳng hàng.

b) AM = AN.

c) \(\widehat {IAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD}.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\widehat {IHA} + \widehat {AHK} = \widehat {IHK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra AM = AN ( = AH).

c) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với đường thẳng AC tại H nên \(IH \bot AC\), suy ra \(\widehat {IHA} = 90^\circ .\)

Do đường tròn (K) nội tiếp tam giác ADC và tiếp xúc với đường thẳng AC tại H nên \(KH \bot AC\), suy ra \(\widehat {IHK} = 90^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {IHA} + \widehat {AHK} = \widehat {IHK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \), nên I, H, K thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên AM = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AC, AD cắt nhau tại A nên AN = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AM = AN ( = AH).

c) Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC nên AI là phân giác của góc BAC suy ra \(\widehat {IAH} = \frac{1}{2} \widehat {BAC}\)

Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AC, AD nên AK là phân giác của góc DAC suy ra \(\widehat {KAH} = \frac{1}{2} \widehat {DAC}\)

Ta có:

\(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {KAH} \)

\(= \frac{1}{2} \widehat {BAC} + \frac{1}{2} \widehat {DAC}\)

\(= \frac{1}{2} (\widehat {BAC} + \widehat {DAC})\)

\(= \frac{1}{2}\widehat {BAD}.\)

Hay \(\widehat {IAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD}.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC (AB
Giải bài tập 4 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Một chiếc máy quay ở đài truyền hình được đặt trên giá đỡ 3 chân, các điểm tiếp xúc với mặt đất của 3 chân lần lượt là 3 đỉnh A, B, C của tam giác đều ABC (Hình 16). Tính khoảng cách giữa 2 vị trí A và B, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 4 dm.
Giải bài tập 3 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều bằng 4cm. Tính cạnh của tam giác đều đó.
Giải bài tập 2 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với AB = 5cm, AC = 12cm.
Giải bài tập 1 trang 73 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Trong các hình 15a, 15b, 15c, 15d ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC? Ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC? Vì sao?
Giải mục 2 trang 71, 72, 73 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Cho tam giác ABC và đường tròn (I) (Hình 9). Nêu vị trí tương đối của các đường thẳng AB, BC, CA với đường tròn (I).
Giải mục 1 trang 68, 69, 70 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Cho biết các đỉnh của tam giác ABC (Hình 2) có thuộc đường tròn (O) hay không?
Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn nội tiếp tam giác Toán 9 Cánh diều
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.