Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\).

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\).

b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

a)

Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\):

- Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {BC}  = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD}  = (4,3,5)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {BC}  \times \overrightarrow {BD}  = ( - 1, - 2,2)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(x + 2y - 2z - 3 = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\):

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {FD}  \to \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OF}  \to \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {BC}  = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\)

- Xét các điểm  \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF}  = ( - 9;3; - 9)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AF}  = (30;45; - 15)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((DEF)\):

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {EF}  \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OF}  - \overrightarrow {OE}  \to \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OF}  - \overrightarrow {AB}  = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\)

- Xét các điểm  \(D(1;2;1)\),

\(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {DE}  = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF}  = ( - 8;0; - 4)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {DE}  \times \overrightarrow {DF}  = (0; - 60;0)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow  - y + 2 = 0\)

b)

Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là:

\(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\).

Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là:

\(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)

 Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store