Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\). b) Tính chiều cao của hình hộp.

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\).

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\).

b) Tính chiều cao của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy (ABCD), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình các mặt phẳng:

- Mặt phẳng \((ABCD)\): Xét các điểm \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)\), ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = (2 - 1,1 - 0,2 - 1) = (1,1,1)\)

\(\overrightarrow {AD}  = (1 - 1, - 1 - 0,1 - 1) = (0, - 1,0)\)

Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AD}  = (1 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 1);1 \cdot 0 - 1 \cdot 0;1 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 0) = (1;0; - 1)\)

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là \(x - z = 0\).

- Mặt phẳng \((A'B'C'D')\):

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng \((A'B'C'D')\) cũng là \(\overrightarrow n  = (1;0; - 1)\).

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(1(x - 4) + 0(y - 5) - 1(z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((A'B'C'D')\) là \(x - z - 9 = 0\).

- Mặt phẳng \((ADDA')\):

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {D'C'}  \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OC'}  - \overrightarrow {OD'}  \to \overrightarrow {OD'}  = \overrightarrow {OC'}  - \overrightarrow {AB}  = (4 - 1;5 - 1; - 5 - 1) = (3;4; - 6)\)

Ta có điểm \(D = (3;4; - 6)\)

\(\overrightarrow {AD'}  = (3 - 1;4 - 0; - 6 - 1) = (2;4; - 7)\)

\(\overrightarrow {AD}  = (0; - 1;0)\)

Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AD}  = (4 \cdot 0 - ( - 7) \cdot ( - 1);( - 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0;2 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 0) = ( - 7;0; - 2)\)

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 7(x - 1) + 0(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Rightarrow  - 7x - 2z + 9 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((ADDA')\) là \(x - z = 0\).

b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\(d = \frac{{|1.1 - 1.1 - 9|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\) là \(\frac{9}{{\sqrt 2 }}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

  • Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)

  • Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu. a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.

  • Giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(S( - 3;2;6)\), \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;4)\), \(C(7;7;5)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD). b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.

  • Giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;4; - 3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\) b) \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\) c) \((Oxy):z = 0\)

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store