-
Giải Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
-
Nội dung đang cập nhật
Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá
Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá
Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\). b) Tính chiều cao của hình hộp.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\).
b) Tính chiều cao của hình hộp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy (ABCD), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình các mặt phẳng:
- Mặt phẳng \((ABCD)\): Xét các điểm \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)\), ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1,1 - 0,2 - 1) = (1,1,1)\)
\(\overrightarrow {AD} = (1 - 1, - 1 - 0,1 - 1) = (0, - 1,0)\)
Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 1);1 \cdot 0 - 1 \cdot 0;1 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 0) = (1;0; - 1)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là \(x - z = 0\).
- Mặt phẳng \((A'B'C'D')\):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng \((A'B'C'D')\) cũng là \(\overrightarrow n = (1;0; - 1)\).
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(1(x - 4) + 0(y - 5) - 1(z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((A'B'C'D')\) là \(x - z - 9 = 0\).
- Mặt phẳng \((ADDA')\):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {OD'} \to \overrightarrow {OD'} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {AB} = (4 - 1;5 - 1; - 5 - 1) = (3;4; - 6)\)
Ta có điểm \(D = (3;4; - 6)\)
\(\overrightarrow {AD'} = (3 - 1;4 - 0; - 6 - 1) = (2;4; - 7)\)
\(\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)
Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (4 \cdot 0 - ( - 7) \cdot ( - 1);( - 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0;2 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 0) = ( - 7;0; - 2)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 7(x - 1) + 0(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Rightarrow - 7x - 2z + 9 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ADDA')\) là \(x - z = 0\).
b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|1.1 - 1.1 - 9|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\) là \(\frac{9}{{\sqrt 2 }}\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
