Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0.\)

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):2x - y + z - 7 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\), \(B\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} .\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Do đó \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\vec n\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right]\). Từ đó viết được phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Như vậy \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right)\) và \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right] = \left( {2.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.2 - 4.1;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\(4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) - 8\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0.\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí