Giải bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {4;0;2} right)), (Bleft( {0;5;1} right)), (Cleft( {4; - 1;3} right)), (Dleft( {3; - 1;5} right)). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (left( {ABC} right)) và (left( {ABD} right)). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua cạnh (BC) và song song với cạnh (AD).

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có các đỉnh \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(C\left( {4; - 1;3} \right)\), \(D\left( {3; - 1;5} \right)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\), rồi viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(D\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABD} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]\), rồi viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\) nên có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AD} \). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right]\), rồi viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(C\left( {4; - 1;3} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;5; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {0; - 1;1} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5.1 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right).0 - \left( { - 4} \right).1;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 5.0} \right) = \left( {4;4;4} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(4\left( {x - 4} \right) + 4\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(D\left( {3; - 1;5} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;5; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AD} \left( { - 1; - 1;3} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABD} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {5.3 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - \left( { - 4} \right).3;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 5.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( {14;13;9} \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là:

\(14\left( {x - 4} \right) + 13\left( {y - 0} \right) + 9\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.\)

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\), và do \(ABCD\) là tứ diện nên \(\overrightarrow {BC} \left( {4; - 6;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AD} \left( { - 1; - 1;3} \right)\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left( { - 6} \right).3 - 2.\left( { - 1} \right);2.\left( { - 1} \right) - 4.3;4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 6} \right).\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 16; - 14; - 10} \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\( - 16\left( {x - 0} \right) - 14\left( {y - 5} \right) - 10\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(C\left( {1; - 5;0} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 5y + 4z - 2024 = 0.\)
Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0.\)
Giải bài tập 6 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0\), \(\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.\)
Giải bài tập 7 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \(M\left( {1; - 2;13} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 3 = 0.\)
Giải bài tập 8 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( P \right):x - 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 8 = 0.\)
Giải bài tập 9 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = 5a\), \(SA = 3a\). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)
Giải bài tập 10 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ \(Oxyz\). Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) của một toà nhà, biết: \(\left( P \right):3x + y - z + 2 = 0\) \(\left( Q \right):6x + 2y - 2z + 11 = 0\) \(\left( R \right):x - 3y + 1 = 0\)
Giải bài tập 2 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\). b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;9;8} \right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ trên.
Giải bài tập 1 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (Aleft( {2;0;0} right)) và nhận (vec n = left( {2;1; - 1} right)) làm vectơ pháp tuyến. b) Đi qua điểm (Bleft( {1;2;3} right)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = left( {1;2;3} right)) và (vec v = left( { - 2;0;1} right)). c) Đi qua ba điểm (Aleft( {1;0;0} right)), (Bleft( {0;2;0} right)) và (Cleft( {0;0;4} right)).
Giải mục 5 trang 41, 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\left( \alpha \right)\)(hình dưới đây).
Giải mục 4 trang 38, 39, 40 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\). a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên. b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có đi qua \(M\) không. c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).
Giải mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).
Giải mục 1 trang 32, 33 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Cho vectơ (vec n) khác (vec 0). Qua một điểm ({M_0}) cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (left( alpha right)) vuông góc với giá của vectơ (vec n)?
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến