Giải bài tập 12 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\). a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp. b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\).

a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), rồi chỉ ra điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

b) Xác định toạ độ của các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) , \(\overrightarrow {CD} \) lần lượt của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).

c) Độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\) nên nó có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 2;0; - 1} \right)\). Vậy một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\). Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0\), hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0\).

Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), ta thấy không thoả mãn, do \(1 - 2.0 - 2.0 + 2 = 3 \ne 0\).

Vậy \(A\) không thuộc \(\left( {BCD} \right)\), suy ra \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) không đồng phẳng. Điều này cũng có nghĩa 4 điểm trên là 4 đỉnh của một hình chóp.

b) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

Ta có \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra \(\left( {AB,CD} \right) = {45^o}\).

c) Ta có độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Khoảng cách đó bằng:

\(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.0 - 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện. b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\). c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

  • Giải bài tập 14 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm \(M\left( {3;4;24} \right)\) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình \(z - 4 = 0\).

  • Giải bài tập 15 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 6 = 0\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

  • Giải bài tập 16 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Đề bài: Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như hình dưới đây. a) Tìm toạ độ các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\). c) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AC\). d) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm \(M\left( {0;60;40} \right)\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

  • Giải bài tập 17 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

    Cho hình hộp chữ nhật (OABC.O'A'B'C'), với (O) là gốc toạ độ, (Aleft( {2;0;0} right)), (Cleft( {0;6;0} right)), (O'left( {0;0;4} right)). Viết phương trình: a) Mặt phẳng (left( {O'AC} right)) b) Đường thẳng (CO') c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí