SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối chương VII - SBT Toán 11 KNTT

Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) v

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).

a) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

b) Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

  • Dựng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\)
  • Chứng minh  \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
  • Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\) suy ra tam giác \(AHA'\)vuông cân.
  • Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\) tính \(BC\).
  • \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}}\).
  • \(AK = \frac{1}{2}A'H\).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).

\({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA'\)

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).

Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\).

Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}\), suy ra \(BC = a\sqrt 7 \).

Do đó \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a\).

Vì tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AK = \frac{{A'H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).

b) Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) là \({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA' = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store