Giải bài 42 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 4;0} \right)\). a) Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. c) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). d) Tính chu vi của tam giác \(ABC\). e) Tính \(\cos \widehat {BAC}\).
Đề bài
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 4;0} \right)\).
a) Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
c) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
d) Tính chu vi của tam giác \(ABC\).
e) Tính \(\cos \widehat {BAC}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng nếu hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB\):
\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 4; - 1} \right),k\overrightarrow {AC} = \left( { - k; - 4k; - k} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \in \mathbb{R}\).
Vậy ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\).
\(\overrightarrow {DC} = \left( {0 - {x_D};\left( { - 4} \right) - {y_D};0 - {z_D}} \right) = \left( { - {x_D}; - 4 - {y_D}; - {z_D}} \right)\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = - {x_D}\\1 = - 4 - {y_D}\\1 = - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 1\\{y_D} = - 5\\{z_D} = - 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( { - 1; - 5; - 1} \right)\).
c) \(G\left( {\frac{{1 + 2 + 0}}{3};\frac{{0 + 1 + \left( { - 4} \right)}}{3};\frac{{1 + 2 + 0}}{3}} \right) \Leftrightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)\).
d) Ta có:
\(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ;\\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 ;\\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {33} .\end{array}\)
Chu vi tam giác \(ABC\)là: \(\sqrt 3 + 3\sqrt 2 + \sqrt {33} \).
e) Trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt 3 .3\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 43 trang 78 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 32 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 41 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 40 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 39 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
