Giải bài 41 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có cạnh bằng (a). Tính: a) (overrightarrow {A'B} .overrightarrow {B'C'} ); b) (overrightarrow {D'A} .overrightarrow {BA'} ).

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính:

a) \(\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C'} \);

b) \(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BA'} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(B'C' \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow B'C' \bot A'B\).

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = {90^ \circ } \Rightarrow \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C'} = 0\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BA'} = - \overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {A'B} = - \left| {\overrightarrow {D'A} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = - AD'.A'B.\cos \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right)\)

\(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {D'C} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {D'C} } \right) = \widehat {A{\rm{D}}'C}\).

Xét tam giác \(AC{\rm{D}}'\) có \(AC,AD',CD'\) đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Do đó \(AC = AD' = CD'\). Vậy tam giác \(AC{\rm{D}}'\) đều.

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \widehat {A{\rm{D}}'C} = {60^ \circ }\).

\(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BA'} = - a.a.\cos {60^ \circ } = - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 42 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 4;0} \right)\). a) Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. c) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). d) Tính chu vi của tam giác \(ABC\). e) Tính \(\cos \widehat {BAC}\).
Giải bài 43 trang 78 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí (A) cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m (Hình 19). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người điều khiển flycam đến vị trí (B) cách vị trí điều khiển 80 m về phía bắc và 120 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 50 m. Chọn hệ trục toạ độ (Oxyz) với gốc (O) là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (left( {Oxy} right)) trùng
Giải bài 32 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho vectơ (overrightarrow u = left( {1;2; - 3} right)). Toạ độ của vectơ ( - 3overrightarrow u ) là: A. (left( {3;6; - 9} right)). B. (left( { - 3; - 6; - 9} right)). C. (left( {3;6;9} right)). D. (left( { - 3; - 6;9} right)).
Giải bài 40 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hai vectơ (overrightarrow u = left( {2; - 2; - 3} right)) và (overrightarrow v = left( {3;3;5} right)). Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ (overrightarrow {rm{w}} ) vuông góc với cả hai vectơ (overrightarrow u ) và (overrightarrow v ).
Giải bài 39 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho (Aleft( {1;0;1} right),Bleft( {2;1;2} right),Cleft( {1; - 1;1} right)). a) Ba điểm (A,B,C) thẳng hàng. b) Toạ độ điểm (D) thoả mãn (overrightarrow {AB} = overrightarrow {DC} ) là (Dleft( {0;2; - 1} right)). c) Độ dài (BC) bằng 2. d) (cos widehat {BAC}) bằng ( - frac{1}{{sqrt 3 }}).
Giải bài 38 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D') có (Aleft( {2; - 1;3} right),)(Bleft( {3;0;4} right),Dleft( {2; - 2;3} right),C'left( {5;4; - 3} right)). a) Toạ độ của vectơ (overrightarrow {AD} ) là (left( {0; - 1;0} right)). b) Gọi toạ độ của điểm (B') là (left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} right)), ta có toạ độ của vectơ (overrightarrow {B'C'} ) là (left( {5 - {x_{B'}};
Giải bài 37 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho tam giác (MNP) có (Mleft( {1; - 2;1} right),Nleft( { - 1; - 2;3} right)) và (Pleft( {3;1;2} right)). Trọng tâm của tam giác (MNP) có toạ độ là: A. (left( {1; - 1;2} right)). B. (left( {3; - 3;6} right)). C. (left( { - 1;1; - 2} right)). D. (left( { - 3;3; - 6} right)).
Giải bài 36 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hai điểm (Mleft( {5;2; - 3} right)) và (Nleft( {1; - 4;5} right)). Trung điểm của đoạn thẳng (MN) có toạ độ là: A. (left( {4;6; - 8} right)). B. (left( {2;3; - 4} right)). C. (left( {6; - 2;2} right)). D. (left( {3; - 1;1} right)).
Giải bài 35 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Khoảng cách giữa hai điểm (Ileft( {2; - 3; - 4} right)) và (Kleft( {7; - 3;8} right)) là: A. 169. B. 13. C. 26. D. 17.
Giải bài 34 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tích vô hướng của hai vectơ (overrightarrow u = left( { - 2;1;3} right)) và (overrightarrow v = left( { - 3;2;5} right)) là: A. (sqrt {14} .sqrt {38} ). B. ( - sqrt {14} .sqrt {38} ). C. 23. D. ‒23.
Giải bài 33 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Độ dài của vectơ (overrightarrow u = left( {1;2;2} right)) là: A. 9. B. 3. C. 5. D. 4.
Giải bài 31 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hai vectơ (overrightarrow u = left( {2; - 2;1} right),overrightarrow v = left( {5; - 4; - 1} right)). Toạ độ của vectơ (overrightarrow u - overrightarrow v ) là: A. (left( { - 3;2;2} right)). B. (left( {7; - 6;0} right)). C. (left( {3; - 2; - 2} right)). D. (left( { - 3; - 6;0} right)).
Giải bài 30 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hai vectơ (overrightarrow u = left( {3;4; - 5} right),overrightarrow v = left( {5; - 7;1} right)). Toạ độ của vectơ (overrightarrow u + overrightarrow v ) là: A. (left( {8;11; - 4} right)). B. (left( { - 2;11; - 6} right)). C. (left( {8; - 3; - 4} right)). D. (left( { - 8;3;4} right)).
Giải bài 29 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hai điểm (Mleft( {3; - 2;3} right)) và (Nleft( {1; - 4;5} right)). Toạ độ của vectơ (overrightarrow {MN} ) là: A. (left( { - 2; - 2;2} right)). B. (left( {2;2; - 2} right)). C. (left( { - 2; - 6;2} right)). D. (left( {2; - 6; - 2} right)).
Giải bài 28 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho điểm (M) thoả mãn (overrightarrow {OM} = overrightarrow i - 4overrightarrow j + 2overrightarrow k ). Toạ độ của điểm (M) là: A. (left( {2; - 4;1} right)). B. (left( {1; - 4;2} right)). C. (left( { - 4;2;1} right)). D. (left( { - 1;4; - 2} right)).