Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ..

Giải bài 41 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau: a) $y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1$ trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ ; b) $y = {x^4} - 8{x^2} + 10$ trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$ ; c) $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$ ; d) $y = x + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ .

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:

a) $y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1$ trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ ;

b) $y = {x^4} - 8{x^2} + 10$ trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$ ;

c) $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$ ;

d) $y = x + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1$ trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ .

Ta có: ${y^\prime } = - {x^2} - 2{\rm{x}} + 3$

Khi đó, trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ , $y' = 0$ khi $x = 1$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}$ tại $x = 1$ , hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ .

b) Xét hàm số $y = {x^4} - 8{x^2} + 10$ trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$ .

Ta có: ${y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 16{\rm{x}}$

Khi đó, trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$ , $y' = 0$ khi $x = 0,x = - 2,x = 2$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10$ tại $x = 0$ , $\mathop {\min }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = - 6$ tại $x = \pm 2$ .

c) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$ .

Ta có: $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

Khi đó, $y' = 0$ khi $x = 0$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - 1$ tại $x = 0$ , hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ .

d) Xét hàm số $y = x + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ .

Ta có: ${y^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Khi đó, trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ , $y' = 0$ khi $x = - 1$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = - 3$ tại $x = - 1$ , hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ .

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 42 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) $y = 2{x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$ ; b) $y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}$ trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]$ ; c) $y = {x^5} - 5{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ ; d) $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $\left[ {3;4} \right]$ ; e) $y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x}$ ; g) \(y = x\sqrt
Giải bài 43 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) $y = \sin 2{\rm{x}} - x$ trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ ; b) $y = x + {\cos ^2}x$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$ ;
Giải bài 44 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) $y = {3^x} + {3^{ - x}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ ; b) $y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ ; c) $y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$ ; d) $y = - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ ;
Giải bài 45 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách $AB$ để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.
Giải bài 46 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Nồng độ $C$ của một loại hoá chất trong máu sau $t$ giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức: $C\left( t \right) = \frac{{3t}}{{27 + {t^3}}}$ với $t \ge 0$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất?
Giải bài 47 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Khối lượng riêng $S\left( {kg/d{m^3}} \right)$ của nước phụ thuộc vào nhiệt độ $T\left( {^ \circ C} \right)$ được cho bởi công thức: $S = \frac{{5,755}}{{{{10}^8}}}{T^3} - \frac{{8,521}}{{{{10}^6}}}{T^2} + \frac{{6,540}}{{{{10}^5}}}T + 0,99987$ với $0 < T \le 25$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). a) Tính khối lượng riêng của nước ở nhiệt độ ${25^ \circ }C$ . b) Ở nhiệt độ nào thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất?
Giải bài 40 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là (xleft( {dm} right)), chiều cao của thùng là (hleft( {dm} right)). a) Thể tích của thùng là (V = {x^.}^2.hleft( {d{m^3}} right)). b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: (S = 4xh + {x^2}left( {d{m^2}} right)). c) Đạo hàm của hàm số (Sle
Giải bài 39 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = {x^2}.ln x). a) (y' = 2{rm{x}}.ln {rm{x}}). b) (y' = 0) khi (x = 1). c) (yleft( {frac{1}{{sqrt e }}} right) = - frac{1}{{2{rm{e}}}}). d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn (left[ {frac{1}{e};e} right]) bằng ( - frac{1}{{2{rm{e}}}}).
Giải bài 38 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Biết giá trị lớn nhất của hàm số (y = frac{{{{left( {ln x} right)}^2}}}{x}) trên đoạn (left[ {1;{e^3}} right]) là (M = frac{a}{{{e^b}}}), trong đó (a,b) là các số tự nhiên. Khi đó ({a^2} + 2{b^3}) bằng: A. 22. B. 24. C. 32. D. 135.
Giải bài 37 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất (m), giá trị lớn nhất (M) của hàm số (y = xsqrt {4 - {x^2}} ) lần lượt bằng: A. (m = 0,M = 2). B. (m = - 2,M = 2). C. (m = - 2,M = 0). D. (m = 0,M = 4).
Giải bài 36 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = ln left( {{x^2} + x + 2} right)) trên đoạn (left[ {1;3} right]) bằng: A. (ln 14). B. (ln 12). C. (ln 4). D. (ln 10).
Giải bài 35 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = left( {{x^2} - 2} right).{e^{2x}}) trên đoạn (left[ { - 1;2} right]) bằng: A. ( - {e^2}). B. ( - 2{e^2}). C. (2{e^4}). D. (2{e^2}).
Giải bài 34 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = {e^{{x^3} - 3{rm{x}} + 3}}) trên đoạn (left[ {0;2} right]) bằng: A. ({e^2}). B. ({e^3}). C. ({e^5}). D. (e).
Giải bài 33 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = x + sqrt 2 cos x) trên đoạn (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) bằng: A. (sqrt 2 ). B. (sqrt 3 ). C. (frac{pi }{4} + 1). D. (frac{pi }{2}).
Giải bài 32 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = x + 1 + frac{1}{{x + 1}}) trên đoạn (left[ {1;2} right]) bằng: A. 2. B. (frac{5}{2}). C. (frac{{10}}{3}). D. ‒2.
Giải bài 31 trang 17 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = frac{{{x^2} - 3{rm{x}}}}{{x + 1}}) trên đoạn (left[ {0;3} right]) bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Giải bài 30 trang 17 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = frac{{2{rm{x}} + 1}}{{1 - x}}) trên đoạn (left[ {2;3} right]) bằng: A. 0. B. ‒2. C. 1. D. ‒5.
Giải bài 29 trang 17 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = sqrt {5 - 4x} ) trên đoạn (left[ { - 1;1} right]) bằng: A. 9. B. 3. C. 1. D. 0.
Giải bài 28 trang 17 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35) trên đoạn (left[ { - 2;0} right]) bằng: A. 40. B. 8. C. 33. D. 35.
Giải bài 27 trang 17 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = frac{{2{rm{x}} - 1}}{{x - 2}}) trên nửa khoảng (left[ { - 3;2} right)) bằng: A. ( - frac{7}{5}). B. 7. C. (frac{7}{5}). D. ‒7.
Giải bài 26 trang 17 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = sqrt {{x^2} + 4} ) bằng: A. 2. B. 4. C. 0. D. 1.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.