Giải bài 31 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi ${\alpha _1}$ , ${\alpha _2}$ , ${\alpha _3}$

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi ${\alpha _1}$ , ${\alpha _2}$ , ${\alpha _3}$ , ${\alpha _4}$ lần lượt là góc giữa các đường thẳng $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ . Chứng minh rằng $SA = SB = SC = SD \Leftrightarrow {\alpha _1} = {\alpha _2} = {\alpha _3} = {\alpha _4}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$ . Chỉ ra rằng ${\alpha _1} = \widehat {SAH}$ , ${\alpha _2} = \widehat {SBH}$ , ${\alpha _3} = \widehat {SCH}$ , ${\alpha _4} = \widehat {SDH}$ , rồi suy ra điều phải chứng minh.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$ .

Dễ thấy rằng ${\alpha _1}$ , ${\alpha _2}$ , ${\alpha _3}$ , ${\alpha _4}$ là những góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng, nên chúng không lớn hơn ${90^o}$ .

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$ , ta suy ra ${\alpha _1} = \widehat {SAH}$ .

Tam giác $SAH$ vuông tại $H$ , ta có $\sin {\alpha _1} = \sin \widehat {SAH} = \frac{{SH}}{{SA}}$ .

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

+ ${\alpha _2} = \widehat {SBH}$ , $\sin {\alpha _2} = \sin \widehat {SBH} = \frac{{SH}}{{SB}}$ ,

+ ${\alpha _3} = \widehat {SCH}$ , $\sin {\alpha _3} = \sin \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{SC}}$ ,

+ ${\alpha _4} = \widehat {SDH}$ , $\sin {\alpha _4} = \sin \widehat {SDH} = \frac{{SH}}{{SD}}$ ,

Vậy, $SA = SB = SC = SD \Leftrightarrow \frac{{SH}}{{SA}} = \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{SH}}{{SD}}$

$\Leftrightarrow \sin {\alpha _1} = \sin {\alpha _2} = \sin {\alpha _3} = \sin {\alpha _4} \Leftrightarrow {\alpha _1} = {\alpha _2} = {\alpha _3} = {\alpha _4}$ .