Giải bài 1.17 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ (x) dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức (frac{1}{{200}}left( {frac{{2500}}{x} + x} right)) gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là (3,6) USD/gallon thì chi phí nhiên liệu (C) (tính bằng USD) khi lái xe (200) dặm với tốc độ (x) dặm/giờ được cho bởi công thức (C = Cleft( x right) = 3,6 cdot left( {frac{{2500}}{x} + x} right)). Ở đây, dặm và gallon, là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải t

Đề bài

Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ \(x\) dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức \(\frac{1}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là \(3,6\) USD/gallon thì chi phí nhiên liệu \(C\) (tính bằng USD) khi lái xe \(200\) dặm với tốc độ \(x\) dặm/giờ được cho bởi công thức

\(C = C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\).

Ở đây, dặm và gallon, là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một chuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng \(\left[ {10;75} \right]\). Hỏi:

a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?

b) Nếu người lái xe tải được trả lương \(28\) USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Yêu cầu bài toán tương đương tìm \(x\) để \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta xét hàm số \(C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) với \(x \in \left[ {10;75} \right]\) sau đó tìm giá trị lớn nhất trên đoạn.

Ý b:

+ Từ đề bài xác định được công thức hàm \(D\left( x \right)\) chi phí mà công ty cần trả bằng tổng lương cho người lái xe và chi phí nhiên liệu khi di chuyển \(s\) dặm.

+ Xét hàm số đó và tìm tốc độ \(x\) để hàm đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn. Sử dụng các cách đã học để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) với \(x \in \left[ {10;75} \right]\), ta cần tìm \(x\) để \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có \(C' = 3,6\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right)\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 3,6\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2500 + {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 50\) (vì \(x \in \left[ {10;75} \right]\)).

Ta có: \(C\left( {10} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{10}} + 10} \right) = 3,6 \cdot 260 = 936\); \(C\left( {50} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{50}} + 50} \right) = 3,6 \cdot 100 = 360\);

\(C\left( {75} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{75}} + 75} \right) = 390\). Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {10;75} \right]} C\left( x \right) = C\left( {50} \right) = 360\) hay \(x = 50\) thì \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Vậy xe tải di chuyển với tốc độ \(50\) dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất.

b) Giả sử \(s\)(dặm) là quãng đường di chuyển của xe. Khi đó số tiền mà công ty phải trả cho người lái xe khi di chuyển trên quãng đường này là \(28 \cdot \frac{s}{x}\) USD.

Chi phí nhiên liệu trên \(s\)(dặm) là \(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) USD.

Suy ra tổng chi phí \(D\left( x \right)\) khi lái xe \(s\)(dặm) là:

\(D\left( x \right) = 28 \cdot \frac{s}{x} + \)\(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right) = s\left( {\frac{{81}}{{2x}} + \frac{x}{{200}}} \right)\) USD.

Ta có \(D'\left( x \right) = s\left( { - \frac{{81}}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{200}}} \right) < 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left[ {10;75} \right]\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {10;75} \right]\).

Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn này khi \(x\) lớn nhất hay \(x = 75\).

Vậy xe tải di chuyển với vận tốc \(75\) dặm/giờ thì sẽ tiết kiệm chi phí nhất.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.18 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau \(s\) mét, một nguồn có cường độ \(a\) đặt ở điểm A và một nguồn có cường độ \(b\) đặt ở điểm B. Cường độ nhiệt tại điểm P nằm trên đoạn thẳng nối A và B được tính theo công thức \(I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}},\) Trong đó \(x\) (m) là khoảng cách giữa P và A. Tại điểm nào giữa A và B, nhiệt độ sẽ thấp nhất?
Giải bài 1.19 trang 16 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên (theta left( {{{45}^ circ } < theta < {{90}^ circ }} right)) so với phương ngang với vận tốc ban đầu là ({v_0}) (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc ({45^ circ }) so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet=0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số (Rleft( theta right) = frac{{v_0^2sqrt 2 }}{{16}}cos theta left( {si
Giải bài 1.20 trang 16 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên (10) cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu (t = 0) giây để chuyển động trong (4) giây. Vị trí (s) (cm) tại thời điểm (t) giây là (s = 10cos pi t).
Giải bài 1.16 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Lợi nhuận thu được (P) của một công ty khi dùng số tiền (s) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức (P = Pleft( s right) = - frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{rm{ s}} ge 0). Ở đây các số tiền được được tính bằng đơn vị nghìn USD. a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa. b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?
Giải bài 1.15 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: (fleft( x right) = left{ begin{array}{l}2x - 1,{rm{ }}0 le x le 2{x^2} - 5x + 9,{rm{ }}2 < x le 3.end{array} right.)
Giải bài 1.14 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (fleft( x right) = xsqrt {4 - {x^2}} , - 2 le x le 2); b) (fleft( x right) = x - cos x, - frac{pi }{2} le x le frac{pi }{2}).
Giải bài 1.13 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = - {x^3} + 3{x^2} + 2); b) (y = frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}).
Giải bài 1.12 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = 3{x^4} - 4{x^3}); b) (y = frac{{{x^2}}}{{x - 1}},x > 1).
Giải bài 1.11 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số (y = fleft( x right)) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm ({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8}) hay không.