Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đồ thị của hàm số (y = frac{a}{x}) (a là hằng số dương)

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{a}{x}\) (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{x^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là

\(y - \frac{a}{{{x_0}}} = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right)\) hay \(y = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}x + \frac{{2a}}{{{x_0}}}\)

Gọi phương trình tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B

\( \Rightarrow A\left( {0;\frac{{2a}}{{{x_0}}}} \right),B\left( {2{x_0};0} \right)\)

Do đó diện tích tam OAB bằng \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2a}}{{{x_0}}}.2{x_0}} \right| = 2a\)

Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 9.32 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô,
Bài 9.33 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: (s = f(t) = {t^3} - 6{t^2} + 9t)
Bài 9.30 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y = {x^3} + 3{x^2} - 1) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 9.29 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x)) thoả mãn (f(1) = 2) và (f'(x) = {x^2}f(x)) với mọi (x). Tính (f''(1)).
Bài 9.28 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x) = frac{{x + 1}}{{x - 1}}). Tính (f''(0)).
Bài 9.27 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x) = sqrt {3x + 1} ). Đặt (g(x) = f(1) + 4left( {{x^2} - 1} right)f'(1)). Tính (g(2)).
Bài 9.26 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Xét hàm số luỹ thừa (y = {x^alpha }) với (alpha ) là số thực.
Bài 9.25 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 9.24 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 4x - 1)
Bài 9.23 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Chuyển động của một vật có phương trình (s(t) = sin left( {0,8pi t + frac{pi }{3}} right))
Bài 9.22 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x) = {x^2}{e^{ - 2x}}). Tập nghiệm của phương trình (f'(x) = 0) là
Bài 9.21 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x) = sqrt {4 + 3u(x)} ) với (u(1) = 7,u'(1) = 10). Khi đó (f'(1)) bằng
Bài 9.20 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x) = frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + 1). Tập nghiệm của bất phương trình (f'(x) le 0) là
Bài 9.19 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (f(x) = {x^2} + {sin ^3}x). Khi đó (f'left( {frac{pi }{2}} right)) bằng
Bài 9.18 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.