Lý thuyết Tọa độ của vecto trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

2. Tọa độ của điểm và vecto

a) Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

b) Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.

Vậy B’(7;2;4).

Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 52,53 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Hệ toạ độ trong không gian
Giải mục 2 trang 53,54,55 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Toạ độ của điểm và vectơ
Giải bài tập 1 trang 56 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian Oxyz, biết: a) (overrightarrow a = 5overrightarrow i + 7overrightarrow j - 3overrightarrow k ), (overrightarrow b = 2overrightarrow i + 4overrightarrow k ). Tìm toạ độ các vectơ (overrightarrow a ), (overrightarrow b ) b) (overrightarrow {OM} = 4overrightarrow i - overrightarrow j + 3overrightarrow k ), (overrightarrow {ON} = 8overrightarrow i - 5overrightarrow j ). Tìm toạ độ các điểm M, N.
Giải bài tập 2 trang 56 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian Oxyz, biết: a) (overrightarrow a = ( - 2;5; - 7)), (overrightarrow b = (4;0;1)). Tính (overrightarrow a ), (overrightarrow b ), theo các vectơ (overrightarrow i ), (overrightarrow j ), (overrightarrow k ) b) A(7; –2; 1), B(0; 5; 0). Tính (overrightarrow {OA} ), (overrightarrow {OB} ) theo các vectơ (overrightarrow i ), (overrightarrow j ), (overrightarrow k )
Giải bài tập 3 trang 56 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13). a) Xác định một hệ toạ độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các điểm A, B, C, S.
Giải bài tập 4 trang 57 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm toạ độ các điểm A, B, C, S.
Giải bài tập 5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ (overrightarrow {OB} ,overrightarrow {OC} ,overrightarrow {OS} )¬ lần lượt cùng hướng với (overrightarrow i ), (overrightarrow j ), (overrightarrow k ) và OA = OS = 4 (Hình 15). Tìm toạ độ các vectơ (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AS} ) và (overrightarrow {AM} )¬ ¬với M là trung điểm của cạnh SC.
Giải bài tập 6 trang 57 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục toạ độ bằng 1 m. Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \)
Giải bài tập 7 trang 57 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình 17. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, \((\overrightarrow i ;\overrightarrow {OH} ) = 64^\circ \), \((\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OM} ) = 48^\circ \). Tìm toạ độ của điểm M.