Lý thuyết Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cánh Diều

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right]). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn (left[ {a;b} right]) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là (intlimits_a^b {f(x)dx} ).

1.Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

2. Tính chất của tích phân

\(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số)
\(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)
\(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)
\(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a<c<b)

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

Với \(\alpha \ne - 1\), ta có: \(\int\limits_a^b {{x^\alpha }dx} = \left. {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right|_a^b = \frac{{{b^{\alpha + 1}} - {a^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\)

b) Tích phân của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)

Với hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta có:

\[\int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx = } \left. {\ln \left| x \right|} \right|_a^b = \ln \left| b \right| - \ln \left| a \right|\]

c) Tích phân của hàm số lượng giác

\(\int\limits_a^b {\sin xdx = - \cos x_a^b} = - \cos b - ( - \cos a) = \cos a - \cos b\)
\(\int\limits_a^b {\cos xdx = \left. {\sin x} \right|_a^b} = \sin b - \sin a\)
\(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \left. { - \cot x} \right|_a^b} = - \cot b - ( - \cot a) = \cot a - \cot b\)
\(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \left. {\tan x} \right|_a^b} = \tan b - \tan a\)

d) Tích phân của hàm số mũ

Với \(a > 0,a \ne 1\), ta có: \(\int\limits_\alpha ^\beta {{a^x}dx} = \left. {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right|_\alpha ^\beta = \frac{{{a^\beta } - {a^\alpha }}}{{\ln a}}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 17,18,19 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Định nghĩa tích phân
Giải mục 2 trang 21,22,23 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính chất của tích phân
Giải bài tập 1 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính tích phân (intlimits_2^3 {frac{1}{{{x^2}}}} dx) có giá trị bằng: A. (frac{1}{6}) B. ( - frac{1}{6}) C. (frac{{19}}{{648}}) D. ( - frac{{19}}{{648}})
Giải bài tập 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tích phân (intlimits_{frac{pi }{7}}^{frac{pi }{5}} {sin xdx} ) có giá trị bằng:
Giải bài tập 3 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} \) có giá trị bằng: A. \( - \frac{1}{{\ln 3}}\) B. \(\frac{1}{{\ln 3}}\) C. -1 D. 1
Giải bài tập 4 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho \(\int\limits_{ - 2}^3 {f(x)dx} = - 10\), \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3], F(3) = -8. Tính F(-2)
Giải bài tập 7 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi \(t \in [a;b]\). Hãy giải thích vì sao \(\int\limits_a^b {v(t)dt} \) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a,b tính theo giây) b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sint (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (s)
Giải bài tập 8 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9. a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên
Giải bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Ở nhiệt độ \(37^\circ C\), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: \(A \to B\). Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol \({L^{ - 1}}\)) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với \(x \ge 0\), thỏa mãn hệ thức \(y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)\) với \(x \ge 0\). Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol \({L^{ - 1}}\). a) Xét hàm số \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \ge 0\). Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x) b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất
Giải bài tập 6 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính: a) (intlimits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx} ) b) (intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^4}}}dx} ) c) (intlimits_1^4 {frac{1}{{xsqrt x }}dx} ) d) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {(4sin x + 3cos x)dx} ) e) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {{{cot }^2}xdx} ) g) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan }^2}xdx} ) h) (intlimits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} ) i) (intlimits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx} ) k) (intlimits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx}
Giải bài tập 5 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho (intlimits_0^4 {f(x)dx} = 4,intlimits_3^4 {f(x)dx} = 6). Tính (intlimits_0^3 {f(x)dx} )