Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - Toán 12 C..

Lý thuyết Các phép toán vecto trong không gian Toán 12 Cùng khám phá


1. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian a) Tổng của hai vecto

1. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian

a) Tổng của hai vecto

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu là \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \).

Phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto.

- Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc 3 điểm).

- Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc hình bình hành).

- Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \) (Quy tắc hình hộp).

b) Hiệu của hai vecto

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \).  Hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và vecto đối của \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to  \).

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \) (Quy tắc hiệu).

2. Tích của một số với một vecto trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) nếu k < 0.

- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto.

3. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

a) Góc giữa hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) khác \(\mathop 0\limits^ \to  \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

b) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) khác \(\mathop 0\limits^ \to  \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức

\(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải mục 1 trang 55, 56, 57, 58 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 2.7). Một vật bắt đầu di chuyển từ điểm A theo độ dịch chuyển bằng \(\overrightarrow {DC} \), sau đó tiếp tục di chuyển theo độ dịch chuyển bằng \(\overrightarrow {B'C'} \). Hỏi vật sẽ di chuyển đến điểm nào?

  • Giải mục 2 trang 58, 59, 60 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình hộp ABCD.EFGH có O và P tương ứng là giao điểm các đường chéo của hai đáy ABCD và EFGH. M là trung điểm của đoạn thẳng EP (Hình 2.14). Xét mối quan hệ về hướng và độ dài của các cặp vectơ: a) \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {FP} \). b) \(\overrightarrow {EM} \) và \(\overrightarrow {CA} \).

  • Giải mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18). a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao? b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).

  • Giải bài tập 2.3 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)

  • Giải bài tập 2.4 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình hộp ABCD.EFGH. Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a,\overrightarrow {AD} = \vec b,\overrightarrow {AE} = \vec c\). Gọi M là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\vec a,\vec b,\vec c\).

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store