Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - Toán 12 C..

Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá


Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {NM} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {MN} \) để từ đó tìm ra tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \).

- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết

- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là:

\(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BM} \)

Với: \(\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB} \)

Và: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {CD} } \right)\).

Suy ra:

\(\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} )\)

Ta có: \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NM}  = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} ) \cdot (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} )\)

Biểu thức này mở rộng thành:

\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CD}  \cdot \overrightarrow {CD} )\)

Biết rằng \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NM}  = M{N^2} = 7{a^2}\), \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 3 \), ta suy ra:

\(7{a^2} = \frac{1}{4}(4{a^2} - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  + 12{a^2})\)

\(7{a^2} = \frac{1}{4}(16{a^2} - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} )\)

\(28{a^2} = 16{a^2} - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \)

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - 6{a^2}\)

- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:

\(\cos \theta  = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {CD} |}}\)

\(\cos \theta  = \frac{{ - 6{a^2}}}{{2a.2a\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là \(\theta  = {150^\circ }\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 2.11 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Một chất điểm (A) nằm trên mặt phẳng nằm ngang ((alpha )), chịu tác động bởi ba lực ({vec F_1},{vec F_{{2^prime }}}{vec F_3}). Các lực ({vec F_1},{vec F_2}) có giá nằm trong ((alpha )) và (left( {{{vec F}_1},{{vec F}_2}} right) = {135^circ }), còn lực ({vec F_3}) có giá vuông góc với ( (alpha ) ) và hướng lên trên. Xác định hợp lực của các lực ({vec F_1},{vec F_2},{vec F_3}), biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là 20N, 15N và 10N.

  • Giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Người ta treo một vật trang trí (O) có khối lượng (m = 2{mkern 1mu} {rm{kg}}) trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm (A), (B) và (C). Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mỹ, người ta chọn độ dài các dây sao cho tứ diện OABC là tứ diện đều. Gọi (overrightarrow {{T_1}} ), (overrightarrow {{T_2}} ) và (overrightarrow {{T_3}} ) lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại (A), (B) và (C). Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng

  • Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).

  • Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và (widehat {BAA'} = widehat {BAD} = widehat {DAA'} = {60^circ }). Tính độ dài đường chéo AC’.

  • Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store