Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - Toán 12 C..

Giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá


Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B. a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau. b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau.

b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm k (k≠0) sao cho \(\overrightarrow {GO}  = k\overrightarrow {CG'} \) thì hai đường thẳng GO // CG’ bằng quy tắc trọng tâm tam giác và quy tắc trung điểm của vectơ.

- Tính độ dài của \(\overrightarrow {CG'} \) rồi suy ra độ dài của \(\overrightarrow {GO} \).

Lời giải chi tiết

Hình bình hành AA’B’B có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AB’. Do đó: \(2\overrightarrow {GO}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB'}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'} \).

Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ có G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy nên: \(\overrightarrow {G'B'}  = \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow {GC} \).

Suy ra: \(2\overrightarrow {GO}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {CG'}  + \overrightarrow {G'C'}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {CG'}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GB} \).

Áp dụng quy tắc trọng tâm của vectơ vào tam giác ABC, ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Suy ra: \(2\overrightarrow {GO}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow {CG'} \).

Vì tồn tại \(k = \frac{1}{2} \ne 0\) nên GO và CG’ song song với nhau.

b)

Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ là lăng trụ đứng nên tam giác CC’G’ vuông tại C’, ta có: \(CG' = \sqrt {CC{'^2} + C'G{'^2}} \).

Mà G’ là trọng tâm của tam giác đều A’B’C’ nên: \(C'G' = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.2 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra: \(CG' = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {93} }}{3}\).

Từ câu a ta thấy \(\overrightarrow {GO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CG'} \) nên \(\left| {\overrightarrow {GO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CG'} } \right| = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {93} }}{3} = \frac{{\sqrt {93} }}{6}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 2.6 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trọng lực \(\vec P\) là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật được tính bởi công thức \(\vec P = m\vec g\), trong đó \(m\) là khối lượng của vật (đơn vị: kg), \(\vec g\) là vectơ gia tốc rơi tự do, có hướng đi xuống và có độ lớn \(g = 9,8{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\). Xác định hướng và độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bóng có khối lượng 450 gam.

  • Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

  • Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và (widehat {BAA'} = widehat {BAD} = widehat {DAA'} = {60^circ }). Tính độ dài đường chéo AC’.

  • Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).

  • Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store