-
Giải Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
-
Nội dung đang cập nhật
Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá
Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - Toán 12 C..
Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} \).
c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\), ta cần sử dụng tính chất trung điểm và phép cộng vectơ.
b) Sử dụng kết quả từ phần a) để tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \). Áp dụng tính chất “Bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó”.
c) Sử dụng tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \).
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\)
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\):
- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là: \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \).
Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)
Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
b) Từ kết quả câu a, tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \):
- Từ câu a, ta có:
\(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} ) \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
Biểu thức này mở rộng thành:
\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DC} )\).
Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 49\), \(AB = 10\), \(DC = 6\), ta suy ra:
\(49 = \frac{1}{4}(100 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + 36)\).
\(49 = \frac{1}{4}(136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} )\).
\(196 = 136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = 30\).
c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\):
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\).
\(\cos \theta = \frac{{30}}{{10 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\theta = {60^\circ }\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.11 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
