Giải mục 4 trang 79, 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều


Cách tìm tọa độ của một vecto vuông góc với hai vecto cho trước

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 79 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \)

b) Cho hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})\) không cùng phương. Xét vecto \(\overrightarrow w  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\).

- Tính \(\overrightarrow w .\overrightarrow u \), \(\overrightarrow w .\overrightarrow v \)

- Vecto \(\overrightarrow w \) có vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\) và \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\).

Lời giải chi tiết:

a)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1;0;0)\), \(\overrightarrow {AD}  = (0;1;0)\).

\(A'(0;0;1) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = (0;0;1)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  = 0.1 + 0.0 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  \bot \overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  = 0.0 + 0.1 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  \bot \overrightarrow {AD} \).

Vậy \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).

b) \(\overrightarrow w .\overrightarrow u  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1}){x_1} + ({z_1}{x_2} - {z_2}{x_1}){y_1} + ({x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}){z_1}\)

\(= {x_1}{y_1}{z_2} - {x_1}{y_2}{z_1} + {y_1}{z_1}{x_2} - {y_1}{z_2}{x_1} + {z_1}{x_1}{y_2} - {z_1}{x_2}{y_1} = 0\).

\(\overrightarrow w .\overrightarrow v  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1}){x_2} + ({z_1}{x_2} - {z_2}{x_1}){y_2} + ({x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}){z_2} \)

\(= {x_2}{y_1}{z_2} - {x_2}{y_2}{z_1} + {y_2}{z_1}{x_2} - {y_2}{z_2}{x_1} + {z_2}{x_1}{y_2} - {z_2}{x_2}{y_1} = 0\).

Vậy vecto \(\overrightarrow w \) có vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 80 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u  = (1;0; - 3)\) và \(\overrightarrow v  = (0;0;3)\). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto \(\overrightarrow w \) khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích có hướng.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow w  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\3&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right|} \right)\)

\((0.3 - 0.( - 3); - 3.0 - 3.1;1.0 - 0.0) = (0; - 3;0)\).

Vậy \(\overrightarrow w  = (0;3;0)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí