Bài 3. Góc - Toán 12 Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ2
LT2

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.

\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)

Vì vậy:

\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)

\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)

Do đó:

\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI

\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oxz:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oyz:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 3 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n\) và \(\vec n'\). Lấy hai đường thẳng \(a\), \(a'\) cùng vuông góc với \((\alpha )\), và hai đường thẳng \(b\), \(b'\) cùng vuông góc với \((\beta )\). (Hình 5.28) Hỏi hai góc \((a,b)\) và \((a',b')\) có bằng nhau không? Vì sao?
Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Giải bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) (d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}{y = - 1 + t,,,,,,,,,,t in mathbb{R}}{z = 3 + 4t}end{array}} right.quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}{y = - 1 + 3t',,,,,t', in mathbb{R}}{z = 4 + 2t'}end{array}} right.) b) (d:frac{x}{1} = frac{y}{2} = frac{{z - 2}}{2}quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}{y = - 1 + t',,,,,t', in mathb
Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \) a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\) b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\) c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\) b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\) c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Giải bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: \(S(0;0;0)\), \(P(8;0;0)\), \(Q(8;18;0)\), \(T( - 1; - 1;7)\), \(R(9;19;7)\). Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Giải bài tập 5.30 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí \(A(0;10;0)\) với vận tốc \(\vec v = (150;150;40)\). a) Viết công thức tính tọa độ của máy bay trong 2 giờ đầu tiên. b) Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường bằng) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Giải mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai vectơ ngược hướng (vec a) và (vec b) là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (vec a') là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d')(Hình 5.26). Cho biết ((d,d') = {45^{^circ }}). Hãy tính số đo của hai góc: (left( {vec a,vec a'} right)) và ((vec b,vec a')). Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc ((d,d')) và ((vec a,vec a')), giữa (cos (d,d')) và (cos (vec a,vec a')).
Lý thuyết Góc Toán 12 Cùng khám phá
1. Góc giữa hai đường thẳng