Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất:
- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).
- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.
\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)
Vì vậy:
\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)
\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)
Do đó:
\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI
\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.
- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)
với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).
Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:
- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)
- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)
- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:
- Với mặt phẳng Oxy:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oxz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oyz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải mục 3 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài tập 5.30 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.30 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
