Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tính góc giữa các cặp mặt phẳng a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\) b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\) c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)

Đề bài

Tính góc giữa các cặp mặt phẳng

a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\)

b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\)

c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (A;B;C)\) và \(\vec n' = (A';B';C')\). Khi đó:

\(\cos \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = \left| {\frac{{\vec n \cdot \vec n'}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec n'} \right|}}} \right| = \frac{{|AA' + BB' + CC'|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \cdot \sqrt {{{A'}^2} + {{B'}^2} + {{C'}^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;4;5)\)

- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (2;1;1)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15\)

\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} = \sqrt {50} ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \)

\(\cos \theta = \frac{{15}}{{\sqrt {50} \times \sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt {300} }} = \frac{{15}}{{10\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\quad \Rightarrow \quad \theta = {30^\circ }\)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;2)\)

- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;2; - 1)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 1 + ( - 1) \times 2 + 2 \times ( - 1) = - 3\)

\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 6 \)

\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 6 \times \sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta \approx 60^\circ \)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3; - 2)\)

- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;2;5)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 4 + 3 \times 2 + ( - 2) \times 5 = 0\)

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\) nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: \(S(0;0;0)\), \(P(8;0;0)\), \(Q(8;18;0)\), \(T( - 1; - 1;7)\), \(R(9;19;7)\). Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Giải bài tập 5.30 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí \(A(0;10;0)\) với vận tốc \(\vec v = (150;150;40)\). a) Viết công thức tính tọa độ của máy bay trong 2 giờ đầu tiên. b) Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường bằng) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \) a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\) b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\) c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Giải bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) (d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}{y = - 1 + t,,,,,,,,,,t in mathbb{R}}{z = 3 + 4t}end{array}} right.quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}{y = - 1 + 3t',,,,,t', in mathbb{R}}{z = 4 + 2t'}end{array}} right.) b) (d:frac{x}{1} = frac{y}{2} = frac{{z - 2}}{2}quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}{y = - 1 + t',,,,,t', in mathb
Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Giải mục 3 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n\) và \(\vec n'\). Lấy hai đường thẳng \(a\), \(a'\) cùng vuông góc với \((\alpha )\), và hai đường thẳng \(b\), \(b'\) cùng vuông góc với \((\beta )\). (Hình 5.28) Hỏi hai góc \((a,b)\) và \((a',b')\) có bằng nhau không? Vì sao?
Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).
Giải mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hai vectơ ngược hướng (vec a) và (vec b) là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (vec a') là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d')(Hình 5.26). Cho biết ((d,d') = {45^{^circ }}). Hãy tính số đo của hai góc: (left( {vec a,vec a'} right)) và ((vec b,vec a')). Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc ((d,d')) và ((vec a,vec a')), giữa (cos (d,d')) và (cos (vec a,vec a')).
Lý thuyết Góc Toán 12 Cùng khám phá
1. Góc giữa hai đường thẳng