Giải bài tập 9.40 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I; b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^o}\) nên tam giác AEH vuông tại E, tam giác AHF vuông tại F.

+ Suy ra, tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.

b) Chứng minh \(\widehat {IEA} = \widehat {EBC}\), \(\widehat {MCE} = \widehat {MEC}\), \(\widehat {ECB} + \widehat {EBC} = {90^o}\) nên \(\widehat {MEC} + \widehat {IEA} = {90^o}\).

+ Tính được \(\widehat {IEM} = {90^o}\) nên \(IE \bot ME\) tại M, nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

+ Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Lời giải chi tiết

a) Vì BE, CF là đường cao của \(\Delta \)ABC nên \(BE \bot AC,CF \bot AB\)\( \Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = \widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\)

Do đó, tam giác AFH vuông tại F và tam giác AEH vuông tại E.

Suy ra, bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Mà I là trung điểm của AH nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.

b) Vì tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I nên \(IA = IE\). Do đó, \(\Delta \)IAE cân tại I nên \(\widehat {IAE} = \widehat {IEA}\).

Lại có: \(\widehat {EAI} = \widehat {EBC}\) (cùng phụ với góc ACB) nên \(\widehat {IEA} = \widehat {EBC}\) (1)

\(\Delta \)BEC vuông tại E, EM là đường trung tuyến nên \(EM = MC\). Do đó, \(\Delta \)MEC cân tại M.

Suy ra, \(\widehat {MCE} = \widehat {MEC}\) (2)

\(\Delta \)BEC vuông tại E nên \(\widehat {ECB} + \widehat {EBC} = {90^o}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\widehat {MEC} + \widehat {IEA} = {90^o}\).

Mà \(\widehat {MEC} + \widehat {IEA} + \widehat {IEH} + \widehat {HEM} = {180^o} \Rightarrow \widehat {IEM} = {90^o}\). Do đó, \(IE \bot ME\) tại M. Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 9.41 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng các tứ giác ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.
Giải bài tập 9.42 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho.
Giải bài tập 9.43 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
a) Phép quay thuận chiều ({45^o}) tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’ (H.9.61). Hãy vẽ tứ giác A’B’C’D’. b) Phép quay trong câu a biến các điểm A’, B’, C’, D’ thành những điểm nào?
Giải bài tập 9.44 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Bạn Lan muốn cắt hình ngôi sao có dạng như Hình 9.62 (trong đó ABCDE là một ngũ giác đều). Lan gấp đôi tờ giấy, vẽ một nửa ngôi sao và cắt theo nét vẽ. Góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp lúc đầu bằng bao nhiêu?
Giải bài tập 9.39 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Đa giác nào dưới đây không nội tiếp một đường tròn? A. Đa giác đều. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.
Giải bài tập 9.38 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có (widehat A - widehat C = {100^o}). Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. (widehat A = {80^o}). B. (widehat C = {80^o}). C. (widehat B + widehat D = {100^o}). D. (widehat A = {140^o}).
Giải bài tập 9.37 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn. B. Góc có hai cạnh chứa các dây cung của đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó. C. Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn. D. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.