Giải bài tập 8 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau: a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\); b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\); c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\);

b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({M_1},{M_2}\) và tương ứng có \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] \ne 0\end{array} \right.\).

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\end{array} \right.\).

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;4; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1; - 5;5} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 2;7} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 13;5; - 17} \right)\).

Vì \(\frac{3}{5} \ne \frac{4}{{ - 2}}\), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12;10; - 22} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {26; - 26; - 26} \right)\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 26.\left( { - 12} \right) - 26.10 - 26.\left( { - 22} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; - 7} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;4} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6; - 9;21} \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 10; - 19;45} \right)\)

Ta có: \( - 3\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6; - 9;21} \right) = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12; - 18;41} \right)\), \(\frac{{ - 12}}{2} = \frac{{ - 18}}{3} \ne \frac{{41}}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} \) không cùng phương. Vậy \({\Delta _1}\) //\({\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 3;5;2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 2;7} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 13;9; - 13} \right)\).

Ta có: \(\frac{1}{5} \ne \frac{1}{{ - 2}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 15} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {13;8; - 7} \right)\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 13.\left( { - 10} \right) + 8.4 - 7.\left( { - 15} \right) = 7 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) không đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 9 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\), biết: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y = 2 - \sqrt 2 {t_1}\\z = 3 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + {t_2}\\y = 1 + {t_2}\\z = 5 - \sqrt 2 {t_2}\end{array} \right.\) ( là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Giải bài tập 10 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 4 - 3t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).
Giải bài tập 11 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\).
Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0. a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'). b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'. c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD). d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).
Giải bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.
Giải bài tập 14 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {91;75;0} \right)\) hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).
Giải bài tập 7 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính \(R = 9\); b) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1); c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(-1; 0; 4).
Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4;1} \right)\); b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;4;1} \right)\); c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0\); d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2)
Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC. c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Giải bài tập 4 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng \(x - a - b - c = 0\) là: A. \(\left| {a + b} \right|\). B. \(\left| {b + c} \right|\). C. \(\left| {c + a} \right|\). D. \(\frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
Giải bài tập 3 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Mặt cầu (S): có bán kính là: A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. b) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 8\) là: A. (-5; 6; 7). B. (5; 6; -7). C. (5; -6; 7). D. (-5; 6; 7).
Giải bài tập 2 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{6} = \frac{{z - 1}}{9}\) có một vectơ chỉ phương là: A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;1} \right)\). B. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {6;3;9} \right)\). C. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3;9;6} \right)\). D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Giải bài tập 1 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt phẳng (P): có một vectơ pháp tuyến là: A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right)\). B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4;5} \right)\). C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3;4;5} \right)\). D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;4; - 5} \right)\).