Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều


Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). a) Tìm tọa độ của các vectơ AB,AC và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC. c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Đề bài

Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ AB,AC và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về cặp vectơ chỉ phương để tính: Cho hai vectơ u,v. Khi đó, vectơ [u,v] vuông góc với cả hai vectơ u,v.

b) + Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct, trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u=(a;b;c).

+ Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Nếu abc0 thì hệ phương trình xx0a=yy0b=zz0c được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u=(a;b;c).

c) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(xo;yo;zo) và nhận n=(A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A(xxo)+B(yyo)+C(zzo)=0

d) Chứng minh điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e)  Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2>0) được tính theo công thức: d(Mo,(P))=|Axo+Byo+Czo+D|A2+B2+C2.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AB=(1;1;2),AC=(2;1;1).

Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ AB,AC là: [AB,AC].

Ta có: [AB,AC]=(|1211|;|2112|;|1121|)=(3;3;3).

b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận AB=(1;1;2) làm một vectơ chỉ phương nên:

+ Phương trình tham số của đường thẳng AB: {x=ty=1tz=3+2t (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: x1=y11=z32.

Đường thẳng AC đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận AC=(2;1;1) làm một vectơ chỉ phương nên:

+ Phương trình tham số của đường thẳng AC: {x=2ty=1tz=3t (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AC: .

c) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 1; 3) và nhận 13[AB,AC]=(1;1;1) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là:

x+y1+z3=0x+y+z4=0

d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; -2) vào mặt phẳng (ABC) ta có: 1+1+(2)4=40 nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Ta có: d(D,(ABC))=|1+124|12+12+12=433.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là n=(2;4;1); b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là u1=(1;3;2)u2=(3;4;1); c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng (Q):2x+yz3=0; d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2)

  • Giải bài tập 7 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

    Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính R=9; b) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1); c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(-1; 0; 4).

  • Giải bài tập 8 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

    Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1,Δ2 trong mỗi trường hợp sau: a) Δ1:x+13=y+54=z51Δ2:x+135=y52=z+177; b) Δ1:x22=y+13=z47Δ2:x+106=y+199=z4521; c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1

  • Giải bài tập 9 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

    Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1Δ2, biết: Δ1:{x=1+t1y=22t1z=3+t1Δ2:{x=3+t2y=1+t2z=52t2 ( là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

  • Giải bài tập 10 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

    Tính góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết Δ:{x=1+2ty=43tz=1+4t (t là tham số) và (P):x+y+z+3=0.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.