Giải bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Đề bài

Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Trực thăng cất cánh từ điểm G. Vectơ \(\overrightarrow r \) chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm t phút sau khi cất cánh (t ≥ 0) có toạ độ là: \(\overrightarrow r = \left( {1 + t;0,5 + 2t;2t} \right)\).

a) Tìm góc θ mà đường bay tạo với phương ngang.

b) Lập phương trình đường thẳng GF, trong đó F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km. Tìm toạ độ điểm mà máy bay trực thăng bắt đầu đi vào đám mây.

d) Giả sử một đỉnh núi nằm ở điểm M(5; 4,5; 3). Tìm giá trị của t khi HM vuông góc với đường bay GH. Tìm khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Gọi \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).

b) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2km, tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu di chuyển vào đám mây có cao độ \(z = 2\) nên \(2t = 2 \Rightarrow t = 1\). Từ đó tính được tọa độ điểm cần tìm.

d) Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc để tính: HM vuông góc với đường bay GH khi \(\overrightarrow {HM} \bot \overrightarrow {GK} \Leftrightarrow \overrightarrow {HM} .\overrightarrow {GK} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Góc \(\theta \) là góc giữa đường thẳng GH và mặt phẳng (Oxy).

Tại thời điểm \(t = 0\) thì \(\overrightarrow {{r_0}} = \left( {1;0,5;0} \right)\). Trực thăng cất cánh từ điểm G nên G(1; 0,5; 0).

Tại thời điểm \(t = 1\), trực thăng bay đến vị trí K thuộc đường thẳng GH với K(2; 2,5; 2).

Đường thẳng GH nhận \(\overrightarrow {GK} = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\sin \left( {GH,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 2.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\) nên \(\left( {GH,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {42^o}\).

Vậy \(\theta \approx {42^o}\).

b) Gọi K’ là hình chiếu của K lên mặt phẳng (Oxy). Suy ra, K’(2; 2,5; 0).

Vì F là hình chiếu của H lên mặt phẳng (Oxy) nên \(K' \in GF\).

Suy ra, đường thẳng GF có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {GK'} = \left( {1;2;0} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng GF: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 0,5 + 2t'\\z = 0\end{array} \right.\) (\(t'\) là tham số).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2km, tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu di chuyển vào đám mây có cao độ \(z = 2\) nên \(2t = 2 \Rightarrow t = 1\). Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là (2; 2,5; 2).

d) Ta có: \(H\left( {1 + t;0,5 + 2t;2t} \right)\), \(\overrightarrow {HM} = \left( {4 - t;4 - 2t;3 - 2t} \right)\).

HM vuông góc với đường bay GH khi \(\overrightarrow {HM} \bot \overrightarrow {GK} \Leftrightarrow \overrightarrow {HM} .\overrightarrow {GK} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {4 - t} \right).1 + \left( {4 - 2t} \right).2 + \left( {3 - 2t} \right).2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\)

Vậy \(t = 2\) thì HM vuông góc với đường bay GH.

Khi đó, khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi là:

\(HM = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2.2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2.2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \left( {km} \right)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 14 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {91;75;0} \right)\) hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).
Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0. a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'). b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'. c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD). d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).
Giải bài tập 11 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\).
Giải bài tập 10 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 4 - 3t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).
Giải bài tập 9 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\), biết: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y = 2 - \sqrt 2 {t_1}\\z = 3 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + {t_2}\\y = 1 + {t_2}\\z = 5 - \sqrt 2 {t_2}\end{array} \right.\) ( là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Giải bài tập 8 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau: a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\); b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\); c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1
Giải bài tập 7 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính \(R = 9\); b) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1); c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(-1; 0; 4).
Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4;1} \right)\); b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;4;1} \right)\); c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0\); d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2)
Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC. c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Giải bài tập 4 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng \(x - a - b - c = 0\) là: A. \(\left| {a + b} \right|\). B. \(\left| {b + c} \right|\). C. \(\left| {c + a} \right|\). D. \(\frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
Giải bài tập 3 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Mặt cầu (S): có bán kính là: A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. b) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 8\) là: A. (-5; 6; 7). B. (5; 6; -7). C. (5; -6; 7). D. (-5; 6; 7).
Giải bài tập 2 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{6} = \frac{{z - 1}}{9}\) có một vectơ chỉ phương là: A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;1} \right)\). B. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {6;3;9} \right)\). C. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3;9;6} \right)\). D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Giải bài tập 1 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt phẳng (P): có một vectơ pháp tuyến là: A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right)\). B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4;5} \right)\). C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3;4;5} \right)\). D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;4; - 5} \right)\).