Giải bài tập 6 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau: a) \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 11 - 6t\\y = - 6 - 3t\\z = 10 + 3t\end{array} \right.\) (t là tham số); b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}\)

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 11 - 6t\\y = - 6 - 3t\\z = 10 + 3t\end{array} \right.\) (t là tham số);

b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({M_1},{M_2}\) và tương ứng có \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] \ne 0\end{array} \right.\).

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\end{array} \right.\).

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6; - 3;3} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 11; - 6;10} \right)\).

Vì \( - 3\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6; - 3;3} \right) = \overrightarrow {{u_2}} \), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12; - 8;7} \right)\) và \(\frac{2}{{ - 12}} \ne \frac{1}{{ - 8}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;4;5} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 3; - 6;15} \right)\).

Ta có: \(\frac{3}{1} \ne \frac{4}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 8;12} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 22;14;2} \right)\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = \left( { - 22} \right).\left( { - 4} \right) + 14.\left( { - 8} \right) + 2.12 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;3;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;2} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {1;3;1} \right)\).

Ta có: \(\frac{4}{1} \ne \frac{3}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&3\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {4; - 7;5} \right)\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 4.2 - 7.2 + 5.1 = - 1 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) không đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 7 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + {t_1}\\y = 4 + \sqrt 3 {t_1}\\z = 0\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 + {t_2}\\z = 5\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số); b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Del
Giải bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\); b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).
Giải bài tập 9 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + y + 2z - 1 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):2x - y + z - 2 = 0\).
Giải bài tập 10 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S. ABCD có các đỉnh lần lượt là (Sleft( {0;0;frac{{asqrt 3 }}{2}} right),Aleft( {frac{a}{2};0;0} right),Bleft( { - frac{a}{2};0;0} right),Cleft( { - frac{a}{2};a;0} right),Dleft( {frac{a}{2};a;0} right)) với (a > 0) (Hình 36).
Giải bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \[B\left( {3,5;5,5;0} \right)\] trên đường băng EG (Hình 37).
Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\). b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và \(N\left( {3;0;4} \right)\).
Giải bài tập 4 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\)(t là tham số). a) Chỉ ra tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \). b) Điểm nào trong các điểm \(C\left( {6; - 7; - 16} \right),D\left( { - 3;11; - 11} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \)?
Giải bài tập 3 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2 = 0\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. \(\left( {{P_1}} \right):x + 2 = 0\). B. \(\left( {{P_2}} \right):x + y - 2 = 0\). C. \(\left( {{P_3}} \right):z - 2 = 0\). D. \(\left( {{P_4}} \right):x + z - 2 = 0\).
Giải bài tập 2 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( { - 1;3;6} \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;8} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:
Giải bài tập 1 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;8; - 7} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
Giải mục 3 trang 71, 72, 73, 74, 75 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Lấy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) sao cho \({\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right),\) \({\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)\) (Hình 31).
Giải mục 2 trang 69, 70, 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hai đường thẳng phân biệt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({M_1},{M_2}\) và tương ứng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) . a) Giả sử \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) (Hình 25). Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không: \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \); \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \)?
Giải mục 1 trang 65, 66, 67, 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 23). Giá của vectơ (overrightarrow {A'C'} ) và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?
Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều
1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng