Bài 2. Phương trình đường thẳng - Toán 12 Cánh diều

Giải bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \[B\left( {3,5;5,5;0} \right)\] trên đường băng EG (Hình 37).

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B\left( {3,5;5,5;0} \right)\) trên đường băng EG (Hình 37).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ \(2,{5^o}\) đến \(3,{5^o}\) hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm M(5; 0; 0), N(0; -5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m.

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 6,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Gọi \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).

+ Viết phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua điểm M và nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

+ Vì C thuộc đường thẳng AB nên tính tọa độ điểm C theo t.

+ Thay tọa độ điểm C (theo ẩn t) vào phương trình mặt phẳng (MNP) ta tìm được t. Từ đó tính được tọa độ điểm C.

d) Sử dụng kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o},{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

e) Tính DE, so sánh DE với 900m, từ đó đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;7,5; - 0,4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = - 2 + 7,5t\\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.\) (t là tham số).

b) Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Do đó, \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 7,5.0 + \left( { - 0,4} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 7,5} \right)}^2} + {{\left( { - 0,4} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}\) nên \(\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {3^o}\). Do đó, góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng (MNP).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 5; - 5;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 5;0;0,5} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)\)

Mặt phẳng (MNP) nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\( - 2,5\left( {x - 5} \right) + 2,5\left( {y - 0} \right) - 25\left( {z - 0} \right) \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0\)

Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Vì C thuộc AB nên \(C\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \right)\). Mà C thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên:

\(3,5 - \left( { - 2 + 7,5t} \right) + 10\left( {0,4 - 0,4t} \right) - 5 = 0\), suy ra \(t = \frac{9}{{23}}\). Do đó, \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)\).

d) Vì D thuộc AB nên \(D\left( {3,5; - 2 + 7,5t';0,4 - 0,4t'} \right)\)

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120m và bằng 0,12km.

Ta có: \(d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4t'} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4t'} \right|\)

Do đó, \(\left| {0,4 - 0,4t'} \right| = 0,12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,4 - 0,4t' = 0,12\\0,4 - 0,4t' = - 0,12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 0,7\\t' = 1,3\end{array} \right.\)

Với \(t' = 0,7\) ta có \(D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)\).

Với \(t' = 1,3\) ta có \(D\left( {3,5;7,75; - 0,12} \right)\).

Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên \(D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)\).

e) Ta có: \(DE = \sqrt {{{\left( {3,5 - 3,5} \right)}^2} + {{\left( {4,5 - 3,25} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}} \approx 1,256\left( {km} \right)\)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \(900m = 0,9km < 1,256km\) nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 10 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S. ABCD có các đỉnh lần lượt là (Sleft( {0;0;frac{{asqrt 3 }}{2}} right),Aleft( {frac{a}{2};0;0} right),Bleft( { - frac{a}{2};0;0} right),Cleft( { - frac{a}{2};a;0} right),Dleft( {frac{a}{2};a;0} right)) với (a > 0) (Hình 36).
Giải bài tập 9 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + y + 2z - 1 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):2x - y + z - 2 = 0\).
Giải bài tập 8 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\); b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).
Giải bài tập 7 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + {t_1}\\y = 4 + \sqrt 3 {t_1}\\z = 0\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 + {t_2}\\z = 5\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số); b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Del
Giải bài tập 6 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau: a) \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 11 - 6t\\y = - 6 - 3t\\z = 10 + 3t\end{array} \right.\) (t là tham số); b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}\)
Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\). b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và \(N\left( {3;0;4} \right)\).
Giải bài tập 4 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\)(t là tham số). a) Chỉ ra tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \). b) Điểm nào trong các điểm \(C\left( {6; - 7; - 16} \right),D\left( { - 3;11; - 11} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \)?
Giải bài tập 3 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2 = 0\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. \(\left( {{P_1}} \right):x + 2 = 0\). B. \(\left( {{P_2}} \right):x + y - 2 = 0\). C. \(\left( {{P_3}} \right):z - 2 = 0\). D. \(\left( {{P_4}} \right):x + z - 2 = 0\).
Giải bài tập 2 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( { - 1;3;6} \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;8} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:
Giải bài tập 1 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;8; - 7} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
Giải mục 3 trang 71, 72, 73, 74, 75 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Lấy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) sao cho \({\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right),\) \({\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)\) (Hình 31).
Giải mục 2 trang 69, 70, 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hai đường thẳng phân biệt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({M_1},{M_2}\) và tương ứng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) . a) Giả sử \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) (Hình 25). Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không: \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \); \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \)?
Giải mục 1 trang 65, 66, 67, 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 23). Giá của vectơ (overrightarrow {A'C'} ) và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?
Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều
1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng