Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài tập cuối chương 4 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Tính các tích phân sau: a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\) b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\)

b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)

c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các công thức cơ bản về tích phân:

- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\)

- \(\int {{e^x}} dx = {e^x}\);

- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)

- Các phép nhân đa thức, các hàm mũ, và lượng giác có thể cần sử dụng các phương pháp đơn giản hóa.

Lời giải chi tiết

a)

\(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {(3{x^2} + 10x + 3)} {\mkern 1mu} dx\)

Tính từng tích phân:

\(\int 3 {x^2}{\mkern 1mu} dx = {x^3},\quad \int 1 0x{\mkern 1mu} dx = 5{x^2},\quad \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x\)

Vậy tích phân là:

\(\left[ {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right]_0^1 = 9\)

b)

\(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)

Tính từng tích phân:

\(\int {{3^{x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}}\)

\(\int 2 {e^x}{\mkern 1mu} dx = 2{e^x}\)

Tích phân là:

\(\left[ {\frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}} - 2{e^x}} \right]_{ - 5}^0 = \left( {\frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - 2{e^0}} \right) - \left( {\frac{{{3^{ - 4}}}}{{\ln 3}} - 2{e^{ - 5}}} \right)\)

c)

\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:

\(\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{(2{{\cos }^2}x - 1)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)

Ta tách thành hai phần:

\(I = 2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \left[ { - \cot x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)

\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} dx = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\cot 2x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

Cuối cùng, kết quả của tích phân là:

\(I = 0\)

d)

\(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)

Sử dụng tích phân của hàm mũ:

\(\int {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\int {({6^x})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}\)

Tính tích phân:

\(\left[ {\frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}} \right]_1^2 = \frac{{{6^2}}}{{3\ln 6}} - \frac{6}{{3\ln 6}} = \frac{{12}}{{\ln 3}} - \frac{2}{{\ln 6}} = \frac{{10}}{{\ln 6}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\); b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).

  • Giải bài tập 4.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: \(y = \sqrt x - 2\), \(y = 0\), \(x = 4\), \(x = 9\).

  • Giải bài tập 4.30 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trọng lực của Trái Đất tác dụng lên một vệ tinh trong quá trình vệ tinh này được phóng lên từ mặt đất tới vị trí cách tâm Trái Đất \(r\) (m) xác định bởi công thức: \(F(r) = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\), trong đó: \(M = {6.10^{24}}{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\) là khối lượng Trái Đất, \(m\) (kg) là khối lượng vệ tinh và \(G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}{{\rm{m}}^2}/{\rm{k}}{{\rm{g}}^2}\) là hằng số hấp dẫn. Trọng lực này sinh công \(W = \int_a^b F (h){\mkern 1mu} dh\) (J) khi vệ tinh thay

  • Giải bài tập 4.31 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Một ô tô đang chạy với vận tốc \(20{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động với vận tốc \(v(t) = - 5t + 20{\mkern 1mu} {\rm{(m/s)}}\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm một quãng đường dài bao nhiêu mét?

  • Giải bài tập 4.32 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Một bồn chứa nước bắt đầu bị rỉ từ đáy. Tốc độ nước chảy ra từ đáy bồn tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi hàm số \(V'(t) = 200 - 4t\)(lít/phút) với \(0 \le t \le 50\) và \(V(t)\) là hàm số cho biết thể tích nước trong bồn tại thời điểm \(t\). Tính lượng nước chảy ra khỏi bồn trong 10 phút đầu tiên từ khi bồn bị rỉ nước.

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store