Giải bài tập 3 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} \) b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \) c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} \) d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} \)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} \)

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất tích phân của một tổng, một hiệu để đưa về tính các tích phân đơn giản.

Lời giải chi tiết

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x^2} - 1} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_{ - 2}^4 = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - 4} \right) - \left( {\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} - \left( { - 2} \right)} \right) = 18\)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2} \)

\( = \left( {\frac{{2{\rm{^2}}}}{2} - 2.2 + \ln \left| 2 \right|} \right) - \left( {\frac{{1{\rm{^2}}}}{2} - 1.2 + \ln \left| 1 \right|} \right) = \ln 2 - \frac{1}{2}\)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x - 2} \right)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} = 3\left. {\left( { - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\( = 3\left[ {\left( { - \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - \cos 0} \right)} \right] - 2\left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) = 3 - \pi \)

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{1 + \cos x}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} } \)

\( = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \left( {\frac{\pi }{2} - \sin \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 - \sin 0} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} \) b) \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \) c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} \)
Giải bài tập 5 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là một hình vành khuyên như hình dưới đây. Khí bên trong ống được duy trì ở \({150^o}{\rm{C}}\). Biết rằng nhiệt độ \(T\left( {^oC} \right)\) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) từ A đến tâm của mặt cắt và \(T'\left( x \right) = - \frac{{30}}{x}\) \(\left( {6 \le x \le 8} \right)\). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Giải bài tập 6 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tốc độ \(v{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}t&{\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\2&{\left( {2 < t \le 20} \right)}\\{12 - 0,5t}&{\left( {20 < t \le 24} \right)}\end{array}} \right.\). Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.
Giải bài tập 2 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_1^2 {{x^4}dx} \) b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \) c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \) d) \(\int\limits_0^2 {{3^x}dx} \)
Giải bài tập 1 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số (y = {x^2}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0), (x = 2). b) Đồ thị hàm số (y = frac{1}{x}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 1), (x = 3).
Giải mục 3 trang 16,17,18 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính chất của tích phân
Giải mục 2 trang 14,15,16 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Khái niệm tích phân
Giải mục 1 trang 12, 13 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Diện tích hình thang cong
Lý thuyết Tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo
1. Diện tích hình thang cong