Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài tập cuối chương 1 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá


Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?

Đề bài

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH,  BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt x là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH.

- Tính diện tích của hình vuông EFGH theo x.

- Tìm chiều cao từ đỉnh S xuống đáy.

- Tìm hàm thể tích và khảo sát.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có hình vẽ như sau:

- Đặt x (cm) là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH (x∈\((0;2,5\sqrt 2 )\)).

Tương đương EF=FG=GH=EH=x nên \({S_{EFGH}} = {x^2}\)

Đặt SO là chiều cao của hình chóp S.EFGH.

- Độ dài đường chéo của hình vuông EFGH là \(HF = EG = \sqrt {{x^2} + {x^2}}  = x\sqrt 2 \)cm.

- Ta có: \(SE = AE = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5 - x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {2.{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{2{x^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {50 - 2{x^2}} \)

- Vì tam giác vuông SOE vuông tại O nên suy ra:

\(SO = \sqrt {S{E^2} - E{O^2}}  = \sqrt {\frac{1}{4}(50 - 2{x^2}) - \frac{{2{x^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \)

- Thể tích của hình chóp S.EFGH là:

\({V_{S.EFGH}} = \frac{1}{3}.{S_{EFGH}}.SO = \frac{1}{3}.{x^2}.\frac{1}{2}\sqrt {50 - 4{x^2}}  = \frac{1}{6}{x^2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \)

Để thể tích hình chóp S.EFGH là lớn nhất thì \(f(x) = {x^2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \) phải đạt giá trị lớn nhất trong khoảng từ \((0;2,5\sqrt 2 )\).

- Tính đạo hàm: \(f'(x) = 2x\sqrt {50 - 4{x^2}}  + {x^2}.\frac{{ - 4x}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }} = \frac{{ - 12{x^3} + 100x}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }} = \frac{{4x(3{x^2} - 25)}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }}\)

- Giải phương trình \(f'(x) = 0\)

\[4x(3{x^2} - 25) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = \frac{5}{{\sqrt 3 }},{x_3} =  - \frac{5}{{\sqrt 3 }}\](loại \({x_1},{x_3}\) vì x > 0).

- Bảng biến thiên:

Nhận thấy \(f(x)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{5}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là \(V = \frac{1}{6}.{\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\sqrt {50 - 4{{\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}  \approx 5,67c{m^3}\).


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 1.33 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) có đồ thị là đường cong như Hình 1.67. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị hàm số đã cho.

  • Giải bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

  • Giải bài tập 1.35 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{3x + 6}}{{2 - x}}\) b) \(y = 2x + \frac{3}{{2 - x}}\)

  • Giải bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: \(y = f(x) = 8x + 0,3{x^2} - 0,0013{x^3} - 372\) (triệu đồng) a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi? b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?

  • Giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là: \(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\) Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store