Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác (ABC) cân tại (A) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), bán kính 1 cm. Đặt (widehat A = alpha left( {0 < alpha < pi } right)). a) Viết biểu thức tính diện tích (S) của tam giác (ABC) theo (alpha ). b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác (ABC).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\), bán kính 1 cm. Đặt \(\widehat A = \alpha \left( {0 < \alpha < \pi } \right)\).

a) Viết biểu thức tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) theo \(\alpha \).

b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính diện tích \(S\left( \alpha \right)\), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:

\(\widehat {MOC} = 2\widehat {OAC} = \widehat {BAC} = \alpha \).

Do đó: \(AM = AO + OM = 1 + \cos \alpha ,BC = 2MC = 2\sin a\).

Suy ra:

\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}AM.BC = \frac{1}{2}2\sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right) = \sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)\\ = \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \end{array}\)

b) Xét hàm số \(S\left( \alpha \right) = \sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).

Ta có: \(S'\left( \alpha \right) = \cos \alpha + \frac{1}{2}.2\cos 2\alpha = \cos \alpha + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - 1\)

\(S'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}\) hoặc \(\cos \alpha = - 1\)

\(\alpha = \frac{\pi }{3}\) hoặc \(\alpha = \pi \) (loại)

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\pi } \right)} S\left( \alpha \right) = S\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy tam giác \(ABC\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.
Giải bài 11 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất \(x\) (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 30{x^2} + 177x + 2592\) (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Giải bài 12 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giá bán \(P\) (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng \(Q\) sản phẩm \(\left( {0 \le Q \le 1500} \right)\) được cung cấp ra thị trường theo công thức \(P = \sqrt {1500 - Q} \). Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu \(R = PQ\) lớn nhất.
Giải bài 8 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng (x) (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm (x) để thể tích của hình hộp là lớn nhất.
Giải bài 7 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).
Giải bài 6 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một chất điểm chuyển động theo phương ngang có toạ độ xác định bởi phương trình \(x\left( t \right) = - 0,01{t^4} + 0,12{t^3} + 0,3{t^2} + 0,5\) với \(x\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây, \(0 \le t \le 6\). Tìm thời điểm mà tốc độ của chất điểm lớn nhất.
Giải bài 5 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = sqrt { - {x^2} + 9} ); b) (y = frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{rm{x}} + 10}}).
Giải bài 4 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = frac{{4{{rm{x}}^2} - 2{rm{x}} + 9}}{{2{rm{x}} - 1}}) trên khoảng (left( {1; + infty } right)); b) (y = frac{{{x^2} - 2}}{{2{rm{x}} + 1}}) trên nửa khoảng (left[ {0; + infty } right)); c) (y = frac{{9{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} + 7}}{{3{rm{x}} - 1}}) trên nửa khoảng (left( {frac{1}{3};5} right]); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} - 3}}{{2{rm{x}} + 5}}) trên đoạn (left[ { - 2;4} right]
Giải bài 3 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 3}}\) trên nửa khoảng \(\left( {3;4} \right]\); b) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 7}}{{2{\rm{x}} - 5}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\); c) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 2}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).
Giải bài 2 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;9} \right]\); b) \(y = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17\) trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\); c) \(y = {x^3} - 12x + 4\) trên đoạn \(\left[ { - 6;3} \right]\); d) \(y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\); e) \(y = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).
Giải bài 1 trang 16 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 2.