SBT Toán 12 - giải SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - ..

Giải bài 4 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo


Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = frac{{4{{rm{x}}^2} - 2{rm{x}} + 9}}{{2{rm{x}} - 1}}) trên khoảng (left( {1; + infty } right)); b) (y = frac{{{x^2} - 2}}{{2{rm{x}} + 1}}) trên nửa khoảng (left[ {0; + infty } right)); c) (y = frac{{9{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} + 7}}{{3{rm{x}} - 1}}) trên nửa khoảng (left( {frac{1}{3};5} right]); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} - 3}}{{2{rm{x}} + 5}}) trên đoạn (left[ { - 2;4} right]

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\);

c) \(y = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\);

d) \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).

Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right){{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {8{\rm{x}} - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} - 16}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 1\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\\\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 1\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

c) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right)}^\prime }\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right){{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {18{\rm{x}} + 3} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right).3}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{27{{\rm{x}}^2} - 18{\rm{x}} - 24}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x =  - \frac{2}{3}\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = 9\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).

d) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {4{\rm{x}} + 3} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2} + 20{\rm{x}} + 21}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\) hoặc \(x =  - \frac{7}{2}\) (loại).

\(f\left( { - 2} \right) = \frac{{11}}{9};f\left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2};f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store