Giải bài 8 trang 37 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 800 cm với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là (x) (cm), (y) (cm) với (x > 0) và (y > 0). a) Chứng tỏ rằng (y = frac{{100}}{x}). b) Tìm diện tích toàn phần (Sleft( x right)) của chiếc hộp theo (x). c) Khảo sát hàm số (Sleft( x right)) trên khoảng (left( {0; + infty } right)). d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng

Đề bài

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 800 cm với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là \(x\) (cm), \(y\) (cm) với \(x > 0\) và \(y > 0\).

a) Chứng tỏ rằng \(y = \frac{{100}}{x}\).

b) Tìm diện tích toàn phần \(S\left( x \right)\) của chiếc hộp theo \(x\).

c) Khảo sát hàm số \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mi-li-mét.)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp để biểu diễn \(y\) theo \(x\).

‒ Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần để tính diện tích toàn phần \(S\left( x \right)\), sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(S\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Thể tích của hình hộp là: \(V = xy.8 = 800 \Leftrightarrow y = \frac{{800}}{{8{\rm{x}}}} = \frac{{100}}{{\rm{x}}}\)

b) Diện tích toàn phần của hộp là:

\(S\left( x \right) = 2{\rm{x}}y + 2\left( {x + y} \right).8 = 2{\rm{x}}.\frac{{100}}{x} + 2\left( {x + \frac{{100}}{x}} \right).8 = 200 + 16{\rm{x}} + \frac{{1600}}{x}\)

c) Xét hàm số \(S\left( x \right) = 200 + 16{\rm{x}} + \frac{{1600}}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

1. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm

\(S'\left( x \right) = 16 - \frac{{1600}}{{{x^2}}};S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\) hoặc \({\rm{x}} = - 10\) (loại)

Trên khoảng \(\left( {10; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng \(\left( {0;10} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 10\) và \({y_{CT}} = 520\).

• Tiệm cận:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {200 + 16{\rm{x}} + \frac{{1600}}{x}} \right) = + \infty \)

Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{16{{\rm{x}}^2} + 200x + 1600}}{{{x^2}}}} \right) = 16\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 16x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {200 + 16{\rm{x}} + \frac{{1600}}{x}} \right) - 16x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {200 + \frac{{1600}}{x}} \right) = 200\)

Vậy đường thẳng \(y = 16{\rm{x}} + 200\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

2. Đồ thị

Ta có \(y = 0 \Leftrightarrow 16{{\rm{x}}^2} + 200x + 1600 = 0\) (phương trình vô nghiệm).

Vậy đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Oy\).

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ bên.

d) Dựa vào đồ thị ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = S\left( {10} \right) = 520\).

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất thì \(x = 10\left( {cm} \right),y = \frac{{100}}{{10}} = 10\left( {cm} \right),h = 8\left( {cm} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 7 trang 37 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn đồng giá có chiến lược kinh doanh nhur sau: • Phí cố định được ước tính trong một năm là 50000 nghìn đồng. • Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng. • Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng. Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu (x) là số phần ăn phục vụ trong một năm, giả sử (x) thuộc khoảng (left[ {5000;25000} right]). a) Gọi (Cleft( x right)) là tổng chi phí hằng năm ch
Giải bài 6 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Nam dùng một tấm bìa có kích thước 50 cm × 20 cm để làm một chiếc lon hình trụ (không có nắp). Hỏi cần chọn bán kính đáy hình trụ là bao nhiêu xăngtimét thì lon hình trụ đạt thể tích lớn nhất? Lưu ý: Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của xăngtimét, bỏ qua phần hao hụt khi cắt và tạo hình, đáy và mặt bên phải là các bìa nguyên vẹn (không ghép nối).
Giải bài 5 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{{rm{x}} - 1}}) ((m) là tham số). Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.
Giải bài 4 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm toạ độ tâm đối xứng (I) của đồ thị hàm số sau theo tham số (m): (y = fleft( x right) = left( {2 - m} right){x^3} - 3{x^2} + 2). Chứng tỏ khi (m) thay đổi, (I) luôn thuộc một parabol xác định.
Giải bài 3 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số không có cực trị.
Giải bài 2 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là \(10l\), Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?
Giải bài 1 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giá thành của một sản phẩm trong 6 tháng đầu năm thay đổi theo công thức (Pleft( t right) = 2{t^3} - 33{t^2} + 168t + 137) với (P) tính bằng nghìn đồng và (t) là số tháng tính từ đầu năm. Trong khoảng thời gian nào thì giá của sản phẩm tăng?
Giải bài 14 trang 35 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}}}}{{x + 1}}) có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng: a) (x = 1) và (y = x - 3). b) (x = 1) và (y = - x + 3). c) (x = - 1) và (y = x - 3). d) (x = - 1) và (y = x + 3).
Giải bài 13 trang 35 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức (Pleft( q right) = - {q^3} + 24{q^2} + 780q - 5000) (nghìn đồng) trong đó (q) (kg) là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50 kg sản phẩm trong một tuần. a) Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng cao. b) Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần. c) Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất
Giải bài 12 trang 35 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Hàm số (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}) có các tiệm cận là a) (x = 2). b) ({rm{x}} = 3). c) ({rm{y}} = 2). d) ({rm{y}} = 3).
Giải bài 11 trang 35 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Cho hàm số (y = 2{x^3} - 5{x^2} - 24x - 18). a) Hàm số có hai cực trị. b) Hàm số đạt cực đại tại (x = - frac{4}{3}), giá trị cực đại là (frac{{10}}{{27}}). c) Hàm số đồng biến trong khoảng (left( {3; + infty } right)). d) Hàm số đồng biển trong khoảng (left( { - frac{4}{3};3} right)).
Giải bài 10 trang 34 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 4{\rm{x}} + 3}}{{2{\rm{x}} + 2}}\) có tâm đối xứng là điểm: A. \(\left( { - 1; - 2} \right)\). B. \(\left( { - 2; - 1} \right)\). C. \(\left( { - 1; - 1} \right)\). D. \(\left( { - 2; - 2} \right)\).
Giải bài 9 trang 34 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 6}}{{x + 1}}\). A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là \(y = x - 3\). B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là \(y = x + 3\). C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là \(y = x + 1\). D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Giải bài 8 trang 34 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 6\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) là A. 6. B. 15. C. 17. D. 22.
Giải bài 7 trang 34 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đồ thị đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho trong Hình 3. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng A. \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;2} \right)\). B. \(\left( { - 2;0} \right)\). C. \(\left( { - 4; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\). D. \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Giải bài 6 trang 34 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đồ thị đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho trong Hình 2. Điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là A. \(x = - 3\). B. \(x = - 1\). C. \(x = 0\). D. \(x = 1\).
Giải bài 5 trang 33 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = {x^3} + 4{x^2} - 3x + 4\). Khi đó A. Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{3}\), giá trị cực đại là \(\frac{{94}}{{27}}\). B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\), giá trị cực đại là 22. C. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại là 4. D. Hàm số không có cực đại.
Giải bài 4 trang 33 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}). Khi đó A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { - infty ;1} right)) và (left( {3; + infty } right)). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { - 1;2} right)) và (left( {2;3} right)). C. Hàm số đồng biến trên (left( { - infty ;2} right)). D. Hàm số đồng biến trên (left( {1; + infty } right)).
Giải bài 3 trang 33 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) trong Hình 1 là: A. ‒1. B. ‒2. C. 0. D. 1.
Giải bài 2 trang 33 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) trong Hình 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Giải bài 1 trang 33 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) trong Hình 1 nghịch biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - 2;1} \right)\). B. \(\left( { - 4; - 2} \right)\). C. \(\left( { - 1;3} \right)\). D. \(\left( {1;3} \right)\).