Giải bài 7 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo>
Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).
Đề bài
Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biểu diễn \(b\) theo \(a\), đặt điều kiện, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( a \right)\) trên đoạn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\).
Do \(a,b\) không âm nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b = 4 - a \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le 4\).
Ta có: \({a^4} + {b^4} = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\).
Đặt \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\)
Xét hàm số \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).
Ta có: \(f'\left( a \right) = 4{a^3} - 4{\left( {4 - a} \right)^3}\)
\(f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow {a^3} = {\left( {4 - a} \right)^3} \Leftrightarrow a = 4 - a \Leftrightarrow a = 2\).
\(f\left( 0 \right) = 256;f\left( 2 \right) = 32;f\left( 4 \right) = 256\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( a \right) = f\left( 2 \right) = 32\).
Vậy \(\min \left( {{a^4} + {b^4}} \right) = 32 \Leftrightarrow a = 2\) và \(b = 2\).
- Giải bài 8 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 10 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 11 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 12 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài 8 trang 37 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 7 trang 37 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 6 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 5 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 4 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 7 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 6 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 5 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 4 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài 3 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo