Giải bài 7 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo


Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).

Đề bài

Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biểu diễn \(b\) theo \(a\), đặt điều kiện, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( a \right)\) trên đoạn.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\).

Do \(a,b\) không âm nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b = 4 - a \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le 4\).

Ta có: \({a^4} + {b^4} = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\).

Đặt \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\)

Xét hàm số \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

Ta có: \(f'\left( a \right) = 4{a^3} - 4{\left( {4 - a} \right)^3}\)

\(f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow {a^3} = {\left( {4 - a} \right)^3} \Leftrightarrow a = 4 - a \Leftrightarrow a = 2\).

\(f\left( 0 \right) = 256;f\left( 2 \right) = 32;f\left( 4 \right) = 256\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( a \right) = f\left( 2 \right) = 32\).

Vậy \(\min \left( {{a^4} + {b^4}} \right) = 32 \Leftrightarrow a = 2\) và \(b = 2\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 8 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng (x) (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm (x) để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

  • Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho tam giác (ABC) cân tại (A) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), bán kính 1 cm. Đặt (widehat A = alpha left( {0 < alpha < pi } right)). a) Viết biểu thức tính diện tích (S) của tam giác (ABC) theo (alpha ). b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác (ABC).

  • Giải bài 10 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.

  • Giải bài 11 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất \(x\) (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 30{x^2} + 177x + 2592\) (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

  • Giải bài 12 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Giá bán \(P\) (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng \(Q\) sản phẩm \(\left( {0 \le Q \le 1500} \right)\) được cung cấp ra thị trường theo công thức \(P = \sqrt {1500 - Q} \). Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu \(R = PQ\) lớn nhất.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí