Giải bài 46 trang 84 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Một bể chứa 5000\(l\) nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25\(l\)/phút.

Đề bài

Một bể chứa 5000\(l\) nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25\(l\)/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau \(t\) phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/\(l\)) là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{200 + t}}\).

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính khối lượng muối được bơm vào bể sau \(t\) phút, từ đó tính được nồng độ muối trong bể.

b) Từ kết quả câu a, sử dụng các tính chất về giới hạn hàm số và kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Sau \(t\) phút, lượng nước muối được bơm thêm vào bể là \(25t\) (lít).

Suy ra thể tích nước trong bể sau khi bơm thêm \(t\) phút là \(5000 + 25t\) (lít)

Do mỗi lít nước được bơm thêm có chứa 30 gam muối, nên lượng muối được bơm thêm vào bể là \(30.25t = 750t\) (gam).

Vậy nồng độ muối trong bể sau khi bơm nước muối một khoảng thời gian \(t\) phút là: \(C\left( t \right) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}\) (\(g/l\)) (điều phải chứng minh).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{200}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{200}}{t} + 1}}\)

\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 30}}{{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{200}}{t} + \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 1}} = \frac{{30}}{{0 + 1}} = 30\).

Điều này có nghĩa là, khi bơm thêm nước muối vào trong bể đến vô hạn thì nồng độ muối trong bể sẽ tăng dần đến giá trị \(30\left( {g/l} \right)\), tức là bằng với nồng độ muối của loại nước muối được bơm thêm vào bể.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 45 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\a{\rm{ }}\left( {x = 2} \right)\end{array} \right.\).
Giải bài 44 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính các giới hạn sau:
Giải bài 43 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\)
Giải bài 42 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính các giới hạn sau:
Giải bài 41 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hàm số \(y = \tan x\) gián đoạn tại bao nhiêu điểm trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)?
Giải bài 40 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hàm số nào sau đây KHÔNG liên tục trên tập xác định của nó?
Giải bài 39 trang 82, 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Quan sát đồ thị hàm số trong hình dưới đây và cho biết:
Giải bài 38 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ { - f\left( x \right)} \right]\) bằng:
Giải bài 37 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = 4\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 2\).
Giải bài 36 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 5\). Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2f\left( x \right)\) bằng:
Giải bài 35 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
. Bài 35 trang 82: Biểu diễn dưới dạng phân số của \(1,\left( 7 \right)\) là:
Giải bài 34 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - \frac{2}{n}\), \({v_n} = 4 + \frac{2}{{n + 2}}\).
Giải bài 33 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\lim {u_n} = 3\), \(\lim {v_n} = + \infty \). Khi đó, \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) bằng:
Giải bài 32 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\lim {u_n} = 2\), \(\lim {v_n} = 3\). Khi đó, \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng: