Giải bài 42 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2n - 4}}{5}\)

b) \(\lim \frac{{1 + \frac{1}{{2n}}}}{{2n}}\)

c) \(\lim \left( {2 + \frac{7}{{{4^n}}}} \right)\)

d) \(\lim \frac{{ - 4{n^2} - 3}}{{2{n^2} - n + 5}}\)

e) \(\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 2n + 1} }}{{n - 5}}\)

g) \(\lim \frac{{{3^n} + {{4.9}^n}}}{{{{3.4}^n} + {9^n}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các tính chất về giới hạn hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\lim \left( {2n - 4} \right) = \lim \left[ {n\left( {2 - \frac{4}{n}} \right)} \right] = \lim n.\lim \left( {2 - \frac{4}{n}} \right) = 2\lim n = + \infty \)

Suy ra \(\lim \frac{{2n - 4}}{5} = + \infty \).

b) Ta có: \(\lim \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right) = \lim 1 + \lim \frac{1}{{2n}} = 1 + 0 = 1\) và \(\lim 2n = + \infty \).

Suy ra \(\lim \frac{{1 + \frac{1}{{2n}}}}{{2n}} = 0\).

c) Ta có \(\lim \left( {2 + \frac{7}{{{4^n}}}} \right) = \lim 2 + \lim \frac{7}{{{4^n}}} = 2 + 0 = 2\).

d) Ta có \(\lim \frac{{ - 4{n^2} - 3}}{{2{n^2} - n + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( { - 4 - \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}}\)

\( = \lim \frac{{ - 4 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \left( { - 4} \right) - \lim \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\lim 2 - \lim \frac{1}{n} + \lim \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{{ - 4 - 0}}{{2 - 0 + 0}} = - 2\)

e) Ta có: \(\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 2n + 1} }}{{n - 5}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }}{{n\left( {1 - \frac{5}{n}} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}} \sqrt {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {1 - \frac{5}{n}} \right)}}\)

\( = \lim \frac{{n\sqrt {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {1 - \frac{5}{n}} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 - \frac{5}{n}}}\).

Do \(\lim \left( {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim 9 + \lim \frac{2}{n} + \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 9 + 0 + 0 = 9\), ta suy ra:

\(\lim \sqrt {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} = \sqrt 9 = 3\).

Mặt khác, \(\lim \left( {1 - \frac{5}{n}} \right) = \lim 1 - \lim \frac{5}{n} = 1 - 0 = 1\)

Suy ra \(\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 2n + 1} }}{{n - 5}} = \lim \frac{{\sqrt {9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 - \frac{5}{n}}} = \frac{3}{1} = 3\).

f) Ta có: \(\lim \frac{{{3^n} + {{4.9}^n}}}{{{{3.4}^n} + {9^n}}} = \lim \frac{{\frac{{{3^n}}}{{{9^n}}} + 4}}{{3.\frac{{{4^n}}}{{{9^n}}} + 1}} = \frac{{\lim {{\left( {\frac{3}{9}} \right)}^n} + \lim 4}}{{\lim 3.\lim {{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^n} + \lim 1}} = \frac{{0 + 4}}{{3.0 + 1}} = 4\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 43 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\)
Giải bài 44 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính các giới hạn sau:
Giải bài 45 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\a{\rm{ }}\left( {x = 2} \right)\end{array} \right.\).
Giải bài 46 trang 84 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một bể chứa 5000\(l\) nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25\(l\)/phút.
Giải bài 41 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hàm số \(y = \tan x\) gián đoạn tại bao nhiêu điểm trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)?
Giải bài 40 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hàm số nào sau đây KHÔNG liên tục trên tập xác định của nó?
Giải bài 39 trang 82, 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Quan sát đồ thị hàm số trong hình dưới đây và cho biết:
Giải bài 38 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ { - f\left( x \right)} \right]\) bằng:
Giải bài 37 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = 4\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 2\).
Giải bài 36 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 5\). Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2f\left( x \right)\) bằng:
Giải bài 35 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
. Bài 35 trang 82: Biểu diễn dưới dạng phân số của \(1,\left( 7 \right)\) là:
Giải bài 34 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - \frac{2}{n}\), \({v_n} = 4 + \frac{2}{{n + 2}}\).
Giải bài 33 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\lim {u_n} = 3\), \(\lim {v_n} = + \infty \). Khi đó, \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) bằng:
Giải bài 32 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\lim {u_n} = 2\), \(\lim {v_n} = 3\). Khi đó, \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng: