Giải bài 23 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho tứ diện\(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\), \(BC\), \(CD\).

Đề bài

Cho tứ diện\(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\), \(BC\), \(CD\). Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {APQ} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\) song song với đường thẳng \(BD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kết quả sau: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(\left\{ I \right\} = MC \cap AP\), \(\left\{ J \right\} = NC \cap AQ\).

Do \(MC \subset \left( {CMN} \right)\), \(AP \subset \left( {APQ} \right)\) nên suy ra \(I \in \left( {APQ} \right) \cap \left( {CMN} \right)\).

Tương tự ta cũng có \(J \in \left( {APQ} \right) \cap \left( {CMN} \right)\). Như vậy \(IJ\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {APQ} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\).

Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AD\), suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Từ đó ta có \(MN\parallel BD\).

Do \(MN \subset \left( {CMN} \right)\), ta suy ra \(BD\parallel \left( {CMN} \right)\).

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(BD\parallel \left( {APQ} \right)\).

Ta có \(BD\parallel \left( {CMN} \right)\), \(BD\parallel \left( {APQ} \right)\), \(IJ\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {APQ} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\). Vậy \(BD\parallel IJ\).

Bài toán được chứng minh.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 24 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(CD\), \(SB\).
Giải bài 25 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy(ABCD) là hình bình hành.
Giải bài 26 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành.
Giải bài 27 trang 105 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong các không gian hẹp, người ta thường thiết kế tủ đựng quần áo có cánh cửa trượt
Giải bài 22 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\), điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AM = 2MB\).
Giải bài 21 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\)?
Giải bài 20 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khẳng định nào sau đây là SAI?
Giải bài 19 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).