SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài 6. Vecto trong không gian - SBT Toán 12 Kết nối tri..

Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a: a) (overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {B'D'} ); b) (overrightarrow {BD} cdot overrightarrow {B'C'} ); c) (overrightarrow {A'B'} cdot overrightarrow {AC'} ).

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'} \)

b) \(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'} \)

c) \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Đưa hai vectơ về một gốc, ta thấy hai vectơ vuông góc.

Ý b: : Đưa hai vectơ về một gốc, từ đó xác định góc giữa chúng từ áp dụng công thức tích vô hướng để giải.

Ý c: Đưa hai vectơ về một gốc, áp dụng kiến thức về định lý ba đường vuông góc trong quá trình tìm cạnh và góc, cuối cùng tính toán, áp dụng công thức để tìm tích vô hướng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BD} \). Mặt khác \(BD \bot AC\)(do ABCD  là hình vuông) hay \(\overrightarrow {BD}  \bot \overrightarrow {AC} \),

suy ra \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

b) Ta có \(\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BC} \). Suy ra :

\(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = BD \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos \widehat {DBC} = {a^2}\sqrt 2  \cdot \cos {45^ \circ } = {a^2}\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right){\rm{       }}\left( 1 \right)\).

Ta sẽ tính cạnh \(AC'\) và xác định góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right)\).

Ta có \(CB \bot AB\) suy ra \(C'B \bot AB\), do đó tam giác \(ABC'\) vuông tại \(B\).

Xét tam giác \(ABC'\) có \(AC' = \sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Lại có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\) suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Thay \(AC' = a\sqrt 3 \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {a^2}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} \).

  • Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 )

  • Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) thỏa mãn (left| {overrightarrow a } right| = 1), (left| {overrightarrow b } right| = 2) và (left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^ circ }). Tính các tích vô hướng sau: a) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}); b) (left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right) cdot left( {overrightarrow a - overrightarrow b } right)); c) (left( {2

  • Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} ); b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} ); c) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );

  • Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và (A'B'C'D'). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {AB'} + overrightarrow {AD'} - overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {CC'} ).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store