Giải bài 2.5 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho (AE = frac{1}{3}AB) và (CF = frac{1}{3}CD). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {EF} = overrightarrow {AD} - frac{1}{3}overrightarrow {AB} - frac{2}{3}overrightarrow {CD} ); b) (overrightarrow {EF} = overrightarrow {BC} + frac{2}{3}overrightarrow {AB} + frac{1}{3}overrightarrow {CD} ); c) (overrightarrow {EF} = frac{1}{3}overrightarrow {AD} + frac{2}{3}overrightarrow {BC} + frac{1}{3}ov

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB\) và \(CF = \frac{1}{3}CD\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \);

b) \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \);

c) \(\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a và ý b: Sử dụng phép cộng, trừ vectơ, tính chất của phép cộng, phép trừ đó (giao hoán, kết hợp), cộng hai vectơ đối với nhau. Ngoài ra còn cần lựa chọn điểm trung gian trong các điểm đã cho sẵn một cách phù hợp để xuất hiện các vectơ mình muốn, các vectơ đối cũng như xuất hiện công thức trong đề. Cụ thể ta sẽ biến đổi một vế để đưa về vế còn lại, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ý c: kết hợp ý a và ý b để chứng minh ý c, có thể nhân thêm rồi cộng hai vế với nhau để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AF}  =  - \overrightarrow {AE}  + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DF} } \right) =  - \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AD}  + \left( {\overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CF} } \right)\\ = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AF}  = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CF}  = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

c) Từ ý a và ý b suy ra

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {EF}  = \left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\\ = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {BC}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) (đ.p.c.m).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài 2.6 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {EF} = frac{2}{3}overrightarrow {MN} ); b) (overrightarrow {EF} = frac{1}{3}overrightarrow {CD} ).

  • Giải bài 2.7 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

  • Giải bài 2.8 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ (overrightarrow u )) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ (overrightarrow x ,{rm{ }}overrightarrow y ,{rm{ }}overrightarrow z )). Hãy giải thích vì sao (overrightarrow x = overrightarrow y = overrightarrow z = - frac{1}{3}overrightarrow u )

  • Giải bài 2.9 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x \), \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow y \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow z \). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \): a) \(\overrightarrow {AD} \); b) \(\overrightarrow {AC'} \); c) \(\overrightarrow {BD'} \).

  • Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và (A'B'C'D'). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {AB'} + overrightarrow {AD'} - overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {CC'} ).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí