Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) thỏa mãn (left| {overrightarrow a } right| = 1), (left| {overrightarrow b } right| = 2) và (left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^ circ }). Tính các tích vô hướng sau: a) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}); b) (left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right) cdot left( {overrightarrow a - overrightarrow b } right)); c) (left( {2

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^ \circ }\).

Tính các tích vô hướng sau:

a) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\)

b) \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\)

c) \(\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đầu tiên thực hiện tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2}\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\) để sử dụng kết quả đó trong các ý.

Ý a: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức bình phương một tổng), thay giá trị tích vô hướng trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Ý b: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương), thay giá trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Ý c: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (nhân hai đa thức), thay giá trị tích vô hướng và trị bình phương vectơ đã tính ở trên.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 1 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \); \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = 1\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 4\).

a) Ta có \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 1 + 2 \cdot \sqrt 2 + 4 = 5 + 2\sqrt 2 \).

b) \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2} = 1 - 4 = - 3\).

c) Ta có:

\(\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} + 6 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - 3 \cdot {\overrightarrow b ^2} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3 \cdot 4 = 2 + 5 \cdot \sqrt 2 - 12 = - 10 + 5\sqrt 2 \).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = overrightarrow 0 )
Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a: a) (overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {B'D'} ); b) (overrightarrow {BD} cdot overrightarrow {B'C'} ); c) (overrightarrow {A'B'} cdot overrightarrow {AC'} ).
Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} \).
Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} ); b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} ); c) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );
Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và (A'B'C'D'). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {AB'} + overrightarrow {AD'} - overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {CC'} ).
Giải bài 2.9 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x \), \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow y \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow z \). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \): a) \(\overrightarrow {AD} \); b) \(\overrightarrow {AC'} \); c) \(\overrightarrow {BD'} \).
Giải bài 2.8 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ (overrightarrow u )) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ (overrightarrow x ,{rm{ }}overrightarrow y ,{rm{ }}overrightarrow z )). Hãy giải thích vì sao (overrightarrow x = overrightarrow y = overrightarrow z = - frac{1}{3}overrightarrow u )
Giải bài 2.7 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.
Giải bài 2.6 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {EF} = frac{2}{3}overrightarrow {MN} ); b) (overrightarrow {EF} = frac{1}{3}overrightarrow {CD} ).
Giải bài 2.5 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho (AE = frac{1}{3}AB) và (CF = frac{1}{3}CD). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {EF} = overrightarrow {AD} - frac{1}{3}overrightarrow {AB} - frac{2}{3}overrightarrow {CD} ); b) (overrightarrow {EF} = overrightarrow {BC} + frac{2}{3}overrightarrow {AB} + frac{1}{3}overrightarrow {CD} ); c) (overrightarrow {EF} = frac{1}{3}overrightarrow {AD} + frac{2}{3}overrightarrow {BC} + frac{1}{3}ov
Giải bài 2.4 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE} \); b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD} \); c) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD} \).
Giải bài 2.3 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có (AB = AD = 1) và (AA' = 2). Tính độ dài của các vectơ sau: a) (overrightarrow {BD} )?; b) (overrightarrow {CD'} )? ; c) (overrightarrow {AC'} )?.
Giải bài 2.2 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của hình hộp: a) Vectơ nào cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AC} \)? b) Vectơ nào bằng vectơ \(\overrightarrow {AD'} \)? c) Những vectơ nào là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AA'} \)?
Giải bài 2.1 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập \(\left\{ S,A,B,C,D \right\}\): a) Các vectơ nào có điểm đầu là S? b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (SAB)? c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {BC} \)?