Bài 14 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số (y = 4,8sin frac{x}{9}) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.
Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số y=4,8sinx9y=4,8sinx9 và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.
a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 13,1m.
c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3m
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào hàm số lượng giác sin
Lời giải chi tiết
a) Hai vị trí OO và AA là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y=0y=0
⇔4,8⋅sinx9=0⇔sinx9=0⇔x9=kπ(k∈Z)⇔x=9kπ(k∈Z)⇔4,8⋅sinx9=0⇔sinx9=0⇔x9=kπ(k∈Z)⇔x=9kπ(k∈Z)
Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y=4,8⋅sinx9y=4,8⋅sinx9 cắt trục hoành tại điểm 0 và AA liên tiếp nhau với x≥0x≥0.
Xét k=0k=0, ta có x1=0x1=0;
Xét k=1k=1, ta có x2=9πx2=9π.
Mà x1=0x1=0 nên đây là hoành độ của 0 , do đó x2=9πx2=9π là hoành độ của điểm AA.
Khi đó OA=9π≈28,3OA=9π≈28,3.
Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.
b) Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y=3,6y=3,6.
⇔4,8⋅sinx9=3,6⇔sinx9=34⇔[x9≈0,848+k2πx9≈π−0,848+k2π⇔4,8⋅sinx9=3,6⇔sinx9=34⇔[x9≈0,848+k2πx9≈π−0,848+k2π
(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp SHIFTSHIFT\sin 3 \div 4 = ta được kết quả gần đúng là 0,85) ⇔[x≈7,632+18kπx≈9π−7,632+18kπ(k∈Z)⇔[x≈7,632+18kπx≈9π−7,632+18kπ(k∈Z)
Xét k=0k=0, ta có x1≈7,632;x2≈20,642x1≈7,632;x2≈20,642.
Ta biểu diễn các giá trị xx vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số y=y= 4,8. sinx9sinx9 như sau:
Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BCBC trên hình vẽ.
Mà BC≈20,642−7,632=13,01(m)<13,1(m)BC≈20,642−7,632=13,01(m)<13,1(m).
Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.
c) Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:
Khi đó QP=9;OA=28,3QP=9;OA=28,3 và OQ=PAOQ=PA.
Mà OQ+QP+PA=OA⇒OQ+9+OQ≈28,3⇒OQ≈9,65OQ+QP+PA=OA⇒OQ+9+OQ≈28,3⇒OQ≈9,65
Khi đó yM=4,8⋅sinxM9=4,8⋅sinOQ9≈4,8⋅sin9,659≈4,22(m)<4,3yM=4,8⋅sinxM9=4,8⋅sinOQ9≈4,8⋅sin9,659≈4,22(m)<4,3 (m).
Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.


- Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Bài 11 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Bài 10 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Bài 9 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Hình lăng trụ đứng, hình chóp đều, thể tích của một số hình khối - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Hình lăng trụ đứng, hình chóp đều, thể tích của một số hình khối - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện - Toán 11 Cánh diều
- Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Toán 11 Cánh diều