Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ thực - Toán 11 Kết nối trí thức


1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa

- Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:

Với a là số thực tùy ý:

\({a^n} = \underbrace {a.a.a...a}_{n\,thừa\,số}\)

Với a là số thực khác 0:

\({a^0} = 1;{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).

- Trong biểu thức \({a^m}\), a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.

Chú ý: \({0^0}\) và \({0^{ - n}}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\) không có nghĩa.

b) Tính chất

Với \(a \ne 0,b \ne 0\) và m, n là các số nguyên, ta có:

\(\begin{array}{l}{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};\\\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}};\\{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}};\\{\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m};\\{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.\end{array}\)

Chú ý:

- Nếu \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m > n.

- Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m < n.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Khái niệm căn bậc n

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).

Nhận xét: Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\) (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{a}\).

Chú ý: \(\sqrt[n]{0} = 0\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

b) Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

\(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\)

\(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\)

\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

 

\(\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\)

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

c) Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó m là một số nguyên và n là một số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ r, kí hiệu là \({a^r}\), xác định bởi \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

Lưu ý: \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\).

Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho a là số thực dương và \(\alpha \) là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {r_n} = \alpha \). Khi đó, dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ \(\alpha \), kí hiệu là \({a^\alpha }\).

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {a^{{r_n}}}\).

Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua